Zapisz wzór ciągu a_n w postaci ilorazu wyrażeń liniowych. Określ monotoniczność Kott: Dany jest ciąg (a_n), gdzie a_n= U{(2n+1)+(2n+2)+(2n+3)+...+(3n+1)}{ (n+1)+(n+2)+(n+3)+...+(2n+1)} n∊N₊. Zapisz wzór ciągu a_n w postaci ilorazu wyrażeń liniowych. Określ monotoniczność ciągu a_n.

...:

	(2n+1)+(2n+2)+(2n+3)+...+(3n+1)
an=
	(n+1)+(n+2)+(n+3)+...+(2n+1)

... tak miało być?

...: ... tylko tak ci się wydaje ...

Jakub: ma ktoś rozwiązanie tego zadania?

razor:

	a1 + an
Sn =		*n
	2

	2n+1 + 3n+1		(5n+2)(n+1)
2n+1 + 2n+2 + ... + 3n+1 =		*(n+1) =
	2		2

	n+1 + 2n+1		(3n+2)(n+1)
n+1 + n+2 + ... + 2n+1 =		*(n+1) =
	2		2

	5n+2
an =
	3n+2

razor: Monotoniczność: trzeba zbadać znak różnicy a_n+1 − a_n − jeśli jest zawsze dodatnia to ciąg jest rosnący, jeśli ujemna − malejący

	5(n+1) + 2		5n+2		5n+7		5n+2
an+1 − an =		−		=		−		=
	3(n+1) + 2		3n+2		3n+5		3n+2

	(5n+7)(3n+2) − (5n+2)(3n+5)		15n2+31n+14−15n2−31n−10
		=		=
	(3n+5)(3n+2)		(3n+5)(3n+2)

	4
		> 0 dla n∊N+, ciąg jest rosnący
	(3n+5)(3n+2)

Tadeusz: ... o jeszcze tylko wytłumacz dlaczego ilość wyrazów przyjmujesz jako (n+1)

razor: Można zauważyć to "sprawnym okiem" lub wyliczyć przekształcając odpowiednio wzór a_n = a₁ +

	an − a1
(n−1)r do postaci n =		+ 1
	r

Tadeusz: ... piszę to tylko dlatego, że w takich zadaniach należy odróżniać ilość wyrazów (np. oznaczając ją jako k )... od n

Jakub: Razor dlaczego przyjąłeś, że jest to ciąg arytmetyczny, w zadaniu nic o tym nie pisze

Jakub: a już wiem wynika to z wypisanych wyrazów

bialuk19: Poprawka: ciąg jest mjejący, ponieważ dla większych n wyraz "n−ty" jest coraz większym ułamkiem: tzn: dla a₂=1/22, dla a₃=2/77 − z eo witać że ciąg jest malejący

razor: Skąd ci się wzięły te a₂, a₃?