Zależność w czworokącie opisanym na okręgu. diana7: W czworokącie ABCD punkty X, Y, Z, W są punktami styczności okręgu wpisanego odpowiednio do AB,

	DP		DZ
BC, CD, DA. Pokazać, że		=		, gdzie P jest punktem przecięcia przekątnych ABCD.
	PB		BY

zawodus: Ciekawe zadanie

pigor: .W czworokącie ABCD punkty X,Y,Z,W są punktami styczności okręgu wpisanego odpowiednio do AB,BC,CD,DA. Pokazać, że ^DP_PB=^DZ_BY, gdzie P jest punktem przecięcia przekątnych czworokąta ABCD. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ..., widzę to np. tak: odcinki BY=BX (dlaczego?), to łącząc w odcinki BZ, XZ , XD, z tw. o stosunku pól trójkątów o tych samych wysokościach mam równości stosunków ich podstaw ^DP_PB= ^ZP_PX ⇔ ^DP_ZP=^PB_PX i ∡BPX=∡DPZ (dlaczego?) ⇒ ΔBPX∼ΔDPZ trójkąty podobne (II cecha), zatem ^DP_PB = ^DZ_BX = ^DZ_BY . ... c.n.w.

diana7:

	DP		ZP
"		=		"
	PB		PX

Ale to zachodzi tylko w szczególnym przypadku, gdy AB || DC.

pigor: .. , nie tylko wtedy, bo widzę to tak : narysuj sobie dowolny czworokąt BZDX z punktem P przecięcia się jego przekątnych, to stosunki pól:

PΔDPZ		PΔBPZ		ZP
	=		=		stosunkowi ich podstaw
PΔDPX		PΔBPX		PX

i analogicznie

PΔDPZ		PΔDBPX		DP
	=		=		⇔ z własności proporcji
PΔBPZ		PΔBPX		PB

PΔDPZ		PΔBPZ		ZP
	=		, czyli =		...
PΔDPX		PΔBPX		PX

diana7:

[DPZ]		[DPZ]
	nie musi być równe		.
[BPZ]		[DPX]

* [f] oznacza pole f.

pigor: .. , NIE, na jakiej podstawie (mam nadzieję, że nie tylko z rysunku) tak sądzisz; przecież twoje liczniki masz równe, to powinny mianowniki być równe , a z jakiej racji miałyby być równe , bo czy podstawy i wysokości mają równe −−−−−−−−−− p.s. u mnie wywal literę B stąd P_DBPX w liczniku ...

diana7:

[DPZ]		[BPZ]		ZP
	=		=
[DPX]		[BPX]		PX

[DPZ]		[DPX]		DP
	=		=
[BPZ]		[BPX]		PB

Z tymi równościami się zgadzam. Ale nie mam pojęcia, dlaczego stąd według Ciebie wynika

	DP		ZP
		=		. Przecież możemy sobie wziąć czworokąt, w którym ZP=PD=PD=1 i PX=2, czyli
	PB		PX

ta równość nie będzie zachodzić.

pigor: ..., kurde, napisałem ci skąd w poście z godziny 16:23, że z własności proporcji i miałaś tylko przyjrzeć się co się dalej stało, ano zamieniłem wyrazy środkowe, a dlaczego mogłem , bo i tak ich iloczyn pozostał const, , czyli "nie zepsułem" tej proporcji

a		c		a		b
	=		⇔		=		bo przecież nadal
b		d		c		d

iloczyn bc=cb= const.. itp. itd , a że wygląd proporcji inny , no to co z tego, przecież nie raz zmieniamy wygląd, ubranie, itp., ale ciągle to MY prawda w każdym razie ja ... i to byłoby na tyle; ja już dziękuję,.