należy to wyliczyć za pomocą pochodnych;/ kasia188: witam bardzo proszę o pomoc W trójkącie suma długości podstawy (X) oraz wysokości(Y) wynosi 12. podać wymiary podstawy i wysokości, jeśli trójkąt ten ma osiągnąć największe pole powierzchni. ps. w odp. jest tak x₀=6 i y₀=6 a S_max=18 ale nie wiem jak to policzyć

kasia188: błagam może ktoś jeszcze nie śpi, kto potrafi to rozwiązać

PW: x+y =12 ⇔ y = 12−x Pole, czyli loczyn

	1
		xy = x(12−x)
	2

ma osiągać maksimum. Przypominamy sobie co wiemy o funkcji kwadratowej

	1
S(x) =		x(12−x), x∊(0,12)
	2

− ma maksimum w połowie między pierwiastkami, czyli w punkcie x₀=6 i maksimum to jest równe

	1
S(6) =		•6•(12−6) = 18.
	2

PW:

	1
Poprawka − w trzecim wierszu zgubiłem		po prawej stronie równości, dalej jest dobrze.
	2

Vizer: x + y = 12 x = 12 − y, 12 − y > 0 => y < 12

	1
P =		* x * y
	2

	1
P =		* (12 − y) * y
	2

	1
P = −		y2 + 6y
	2

Jest to funkcja kwadratowa z ramionami skierowanymi w dół, więc by pole było maksymalne musimy znaleźć jej wierzchołek będący największą wartością tej funkcji.

	−6
yw =		= 6 , 6 < 12
	−1

x_w = 12 − 6 = 6 Nie wiem po co tu pochodne

pigor: .... , lub z warunków zadania i nierówności między średnią g ≤ a np. tak : x+y=12 , to pole S : S=¹₂xy ≤ ¹₂* ¹₄(x+y)²= ¹₈*12²= = ¹₈12*12=¹₂*3*12= 3*6=18 , przy czym równość, czyli największe pole S=18 ⇔ x=y i ¹₂x²=18 ⇔ x²=36 ⇒ x=6=y

Piotr: czy to nie wystarczy ?

PW: O, nawet nie spojrzałem na warunek "należy wyliczyć za pomocą pochodnych", po przeczytaniu treści − tak jak Vizer − zrobiłem metodą elementarną. Ale skoro dzieci ćwiczą, no to

	1
S(x) = −		x2 + 6x, x∊(0,12)
	2

S'(x) = −x +6 S'(x) = 0 ⇔ x = 6. Warunek konieczny istnienia ekstremum jest spełniony dla x₀=6. W otoczeniu x₀ pochodna zmienia znak − po lewej stronie jest dodatnia (bo −x+6 > 0 dla x<6), a po prawej ujemna, tak więc spełniony jest warunek koniezny istnienia ekstremum − w punkcie x₀=6 funkcja S osiąga maksimum.

kasia188: dziękuje bardzo wszystkim