trygonometria piotr123: Zadanie z Matury PR Rozwiaz rownanie √3cosx=1 + sinx x∊<0;2π> przenioslem sinx na lewo podzielilem to przez dwa i mialem

√3		1		1
	cosx −		sinx=
2		2		2

√3		1
	zamienilem na sin60 i		na cos60
2		2

ze wzoru sin(α−β)=sinαcosβ−sinβcosα

	1
zrobilem tak,ze sin(60−x)=
	2

	π
i		−x=t
	3

	1
zatem sint=
	2

	π		5π
t=		i t=
	6		6

2π		π		π		π
	(czyli		) −x=		⇒ x=
6		3		6		6

	π		5π		3π
oraz		−x=		⇒ x=−		czyli x nie nalezy do <0;2π>
	3		6		6

	π
moja odpowiedz to wylacznie x=
	6

	3π
widzialem,ze odpowiedzia jest jeszcze		dlaczego
	2

Tyrmand:

	π		3π
jak pod t przyjmiesz jeszcze 2π+		, to wyjdzie		, które należy do przedziału
	6		2

PW: Rozwiązaniem jest także

	3π		π		3
(1) −		+ 2π = −		+ 2π =		π.
	6		2		2

Napisałeś tylko po jednym podstawowym rozwiązaniu, z których jedno wpadło do dziedziny, a drugie nie. Jednak funkcja jest okresowa, stąd rozwiązanie (1).

piotr123: ooooo ale lipa,widze to,moze beda 3 pkt na 4 jak sadzisz?

adek: Dolaczam sie do pytania. Tylko chodzi mi o rozwiazanie: x = − ^π₂ Skoro sin(60 − x) = ¹₂ to z tym rozwianiem byloby sin150 = ¹₂ czyli byloby ok. Niech ktos wytlumaczy.

pigor: ..., widze to np. tak : (*) x∊<0;2π> , to √3cosx= 1+sinx /² ⇔ 3(1−sin²x)= 1+sin²x+2sinx ⇔ ⇔ 4sin²x+2sinx−2= 0 ⇔ 2sin²x+sinx−1= 0 ⇔ 2sin²x+2sinx−sinx−1= 0 ⇔ ⇔ 2sinx(sinx+1)−1(sinx+1)= 0 ⇔ (sinx+1)(2sinx−1)= 0 ⇔ ⇔ sinx=−1 v sinx= ¹₂, stąd i z (*) ⇔ ⇔ x=³₂π v x= ^π₆ v x= π−^π₆ ⇔ x∊{ ¹₆π, ⁵₆π, ³₂π } .

Marcin: pigor, zrobiłeś ten sam błąd co ja i pewnie większość ludzi

pigor: ..., hmm tak mi wychodzi online i z wykresu sinusa w przedziale <0;2π> ale chyba to podnoszenie do kwadratu coś .... bo strony równania nie mają tego samego znaku w tym przedziale. trudno ; 1 punkt by tylko odjęli

Marcin: No i mi właśnie ten 1 mi odejmą

Marcin: Ale poryłem to zdanie

PW: Taaaak, wiele razy pisaliśmy tutaj o niebezpieczeństwie podnoszenia do kwadratu obu stron równania. Metoda dobra, ale wymaga sprawdzenia, czy wynikowe liczby spełniają początkowe równanie.