Ciąg Wazyl: Ostatnio wpadło mi w ręce zadanie i stanąłem. Podpowiedź poproszę: Podaj zależność między a i b aby równanie x⁴+ax²+b=0 miało cztery pierwiastki tworzące ciąg arytmetyczny. I jeszcze jedno: Wyznacz wyraz ogólny ciągu: 15, 1155, 111555, 11115555 ....

zawodus: W pierwszym podstawienie x²=t Pierwiastki są szczególnej postaci Drugie to zwykła zagadka, zadanie nie maturalne

Wazyl: Nie jestem maturzystą. Co do 1) podstawiłem. a²−4c>0 a<0 b>0 −√t₁ ; −√t₂ ; √t₁ : √t₂ i kombinacje tego ustawienia.

Godzio: Bez myślenia mam taki sposób na pierwsze: x₁ = x₂ + r = x₃ + 2r = x₄ + 3r No to niech x₁ = c − r x₂ = c x₃ = c + r x₄ = c + 2r Zapisujemy postać iloczynową: (x − c + r)(x − c)(x − c − r)(x − c − 2r) Po wymnożeniu: x⁴ − x³(2r + 4c) + x²(−r² + 6cr + 6c²) + x(2r³+2cr² − 6c²r − 4c³) + + c⁴ + 2c³r − c²r² − 2cr³ Przyrównujemy współczynniki 2r + 4c = 0 ⇒ r = −2c 2r³+2cr² − 6c²r − 4c³ = 0 ⇒ −16c³ + 8c² + 12c³ − 4c³ = 0 ⇒ − 8c³ + 8c² = 0 ⇒ −8c²(c − 1) = 0 ⇒ c = 0 lub c = 1 Zatem r = 0 lub r = −2 (c,r) = (0,0) wtedy a = b = 0 (c,r) = (1,−2) i trzeba policzyć co się dzieje

Trivial: Drugie zadanko jest trywialne jak zawsze. Trzeba jedynie rozłożyć je na: 15 = 1*10 + 5 = 1(10¹ + 5) 1155 = 11*10² + 55 = 11*(10² + 5) 111555 = 111*10³ + 555 = 111*(10³ + 5) ...

	10n−1
Z kolei 11...1 da się zapisać jako 100 + 101 + 102 + ... + 10n−1 =
	9

Wzór ogólny będzie zatem:

	10n−1
an =		*(10n + 5)
	9

zawodus: No i już nie piszę sposobu na pierwsze, Godzin mnie ubiegł

Godzio: 15 = 10 + 5 1155 = 1100 + 55 111555 = 111000 + 555 11115555 = 11110000 + 5555 No to mamy sumę dwóch ciągów, spróbujmy znaleźć ich wzory a₁ = 10 a₂ = 1100 a₃ = 111000 a₂ = 10³ + 10a₁ a₃ = 10⁵ + 10a₂ a₄ = 10⁷ + 10a₃ a_n+1 = 10^{2n + 1} + 10a_n Wzór rekurencyjny, trzeb go rozwiązać, a metod na to jest wiele b₁ = 5 b₂ = 55 = 50 + 5 b₃ = 555 = 500 + 55 b₄ = 5555 = 5000 + 555 b_n+1 = 5 * 10ⁿ + b_n To samo jak wyżej. Znając wzór tych dwóch ciągów znasz wzór na ciąg ogólny wyjściowego ciągu.

zawodus: Przepraszam Godzio

Godzio: O Trivial podał znacznie lepszy sposób

Trivial: Jak tam programowanie Godzio? Zarzuciłeś? (:

Godzio: Nie nie Teraz programuje programy na uczelnie broń boże nie zarzucam

muflon: Wazyl Ty nie na maturze

Wazyl: Nie muflon nie jestem maturzystą.

Wazyl: Mam jeszcze pytanko. Zadanie doprowadziłem do postaci: Treść oczywiście brzmi znaleźć wielomian który dla każdej liczby R .... : (*) P(xy)=P(x)*P(y) Z tej postaci wnioskowałem że jeżeli jest to wielomian stały to : P(x)=0 v P(x)=1 W rozwiązaniu pokazali jednak że: P(0)=P(x)P(0) ⇒ P(x)=1 Czyli nie mogę wnioskować z (*). Moje pytanie dlaczego? I kiedy mam brać pod uwagę że wielomian jest stały czy nie?

Trivial: A dlaczego niby stały? Np. P(x) = x spełnia ten warunek.

Trivial: A z rozwiązania wcale nie wynika jednoznacznie że P(x) = 1. Jest też drugie rozwiązanie: P(0) = 0.

Wazyl: Trivial nie zrozumiałeś mnie. polecenie brzmi wyznaczyć wszystkie Wielomiany spełniające to równanie. Odpowiedź do zadania napisali : W(x)=xⁿ v W(x)=1 Ja się pytam (*). Czy z tej postaci moge szukać wielomianów stałych które spełniają to równanie? A jeżeli nie to czemu? Chyba że coś mylę ale wydaje mi się że jeżeli W(x)=0 to równanie też jest spełnione.

Trivial: Możesz − przecież takie jest polecenie. Ale P(x) = 0 również działa, więc ta odpowiedź jest trochę nie bardzo.

Wazyl: Ok. Zadanie jest z "Zadania z Olimpiad z całego Świata" Pawłowskiego. Więc mam pytanie. Ogólne: Jeżeli mam równanie funkcyjne np postaci: f(x)=f(2x)−2 lub f(x)−f(x⁺2)=f(x+1) czy jakiekolwiek inne mogę najpierw rozwiązać równanie: x=x−2 lub x−x=x i wnioskować z tego że są lub nie ma wielomianów stałych spełniających równanie?

Trivial: W tym drugim przypadku rozwiązanie istnieje (c = 0). Ale tak, można sprawdzić f(x) = c i zobaczyć czy istnieje.

Wazyl: Dzięki. Jest jakiś inny sposób rozwiązywania tych konkursowych równań oprócz podstawiania? Czy każdy trzeba kombinować po swojemu?

Trivial: Zadanka tego typu często wymagają jakiś sprytnych podstawień albo zauważania czegoś. Ogólnej metody raczej nie ma.