algebra liniowa major: przekształcenie liniowe L: R³ → R³ spełnia warunki L(0,1,1)=(0,1,1), L(2,2,0)=(0,0,0), L(1,0,0)=(1,0,0) wyznaczyć wzór tego przekształcenia i obliczyć L²⁰¹⁴(1,2,3) wzór wychodzi: L(x,y,z)=(x−y+z,z,z) to w bazach standardowych(B₁ = B₂= { (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) } macierz przekształcenia wygląda tak: 1 −1 1 0 0 1 0 0 1 prosze o pomoc w dokończeniu tego zadania, wydaje mi się, że trzeba skorzystać z tego, że A²⁰¹⁴=PD²⁰¹⁴P⁻¹ gdzie P jest macierzą przejścia(tylko jak będzie wyglądać skoro baza się nie zmiania) a D jest macierza diagonalną

Godzio: Nie wystarczy po prostu zdiagonalizować macierzy przekształcenia? det(A − λI) = −(1 − λ)²λ λ = 1 0 −1 1 0 −1 1 0 0 0 Z tego mamy wektory własne: v₁ = (1,0,0) oraz v₂ = (0,1,1) λ = 0 1 −1 1 0 0 1 0 0 1 Z tego mamy wektor v₃ = (1,1,0) 1 0 0 D = 0 1 0 0 0 0 1 0 1 P = 0 1 1 0 1 0

major: a ta macierz przekształcenia to w ogóle jest diagonizowalna bo wyznacznik wyjdzie zero 1 −1 1 0 0 1 0 0 1

Godzio: A czy wyznacznik = 0 przeszkadza?

Trivial: Godzio, no nie przesadzaj z tą diagonalizacją. Wektory własne są ukryte w treści zadania: L(0,1,1) = 1*(0,1,1) L(2,2,0) = 0*(2,2,0) ⇒ L(1,1,0) = 0*(1,1,0) L(1,0,0) = 1*(1,0,0) (1,2,3) = 3(0,1,1) − (1,1,0) + 2(1,0,0) L²⁰¹⁴(1,2,3) = 3*L²⁰¹⁴(0,1,1) − L²⁰¹⁴(1,1,0) + 2L²⁰¹⁴(1,0,0) = 3*(0,1,1) − 0 + 2(1,0,0) = (2,3,3).

Godzio: Ano, nie utrwalam to trochę mi się zapomina

major: dzięki wielkie Trivial a gdyby właśnie wektory własne nie były ukryte, to powinienem robić to tym sposobem, który podałem?