Ciekawe zadanko maturalne :D Pat: W prawidłowym ostrosłupie trójkątnym ABCS poprowadzono płaszczyznę przechodzącą przez bok podstawy AC = a i prostopadłą do krawędzi BS. Płaszczyzna przekroju odcina ostrosłup ABCD, którego objętość jest równa 0,25 objętości ostrosłupa ABCS. Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa ABCS.

Mila:

Mila: ED⊥BS

	a2√3
Pc=		+3*PΔABS
	4

Przekrój ACD podzielił ostrosłup ABCS na dwa ostrosłupy : Możemy przyjąć, że podstawą obu ostrosłupów jest ΔACD Mamy ostrosłupy ACDS i ostrosłup ACDB V− objętość ostrosłupa ABCS

3
	V− objetość ostrosłupa ACDS (o wysokości DS)
4

1
	V − objętość ostrosłupa ACDB ( o wysokości DB)
4

V_ACDS=3*V_ACDB⇔

1		1
	*PΔACD*|DS|=3*		*PΔACD*|DB|⇔
3		3

	1
|DS|=3*|DB|⇔|DB|=		|BS|
	4

Pole Δ ABS: AD⊥BS

	1		1		1
P=		*|BS|*|AD| albo P=		a*hb=		*a*√BS2−(1/4)a2
	2		2		2

======================================================= Porównujemy pola trójkąta obliczone dwoma sposobami:

1		1
	*|BS|*|AD| =		*a*√BS2−(1/4)a2 gdzie:
2		2

	1
|AD|2=a2−|DB|2⇔|AD|2=a2−(		|BS|)2
	4

	1
|BS|*|AD| =a*√|BS|2−(1/4)a2 /2 ⇔|BS|2*|AD|2=a2*(|BS|2−		a2
	4

	1		1
|BS|2*(a2−		|BS|2)=a2*(|BS|2−		a2
	16		4

stąd: |BS|²=2a²

	1		1
PΔABS=		*a*√BS2−(1/4)a2=		a*√2a2−(1/4)a2
	2		2

	1		√7a2		a2√7
PΔABS=		a*		=
	2		2		4

	a2√3		a2√7
Pc=		+3*
	4		4

	a2*(√3+3*√7)
Pc=
	4

====================

Pat: h = ^a√3₂ x = √zy ^x_y = ^H_u{a√3{2}

Mila: Pat, jest zwyczaj, że się dziękuje za rozwiązanie.

Pat: omg przepraszam cie najmocniej sle calusy

Pat: mam pewne watpliwosci jakby ktos mogl zobaczyc gdzie jest blad w moim rozumowaniu: w odniesieniu do poprzedniego rysunku wynika ze x = √3yH/2 V1 − objetosc ostroslupa mniejszego (tego na dole) Vc − objetosc calego ostroslupa V1 = ayH/4 V2 = a²H√3/12 Vc = 4 * V1 ⇒ y = a√3/12 ⇒ z = a√3/2 − a√3/12 = 5a√3/12 x = √yz = a√15/12 ⇒ H = x/y * a√3/3 = a√15/3 h − wysokość ściany bocznej h² = H² + (a√3/3)² ⇒ h = √2a Pc − pole całkowite Pc = a²√3/4 + 3 * 1/2 * a * a√2 gdzie tu jest błąd ?

Pat: a i oczywiscie z podobienstwa ⇒ x/y = H/a√3/3

Mila: Sposób dobry, ale .. Trzeba pisać w jakich to trójkatach, bo trudno rozszyfrować co masz w głowie.

	1
x=		H
	4

	a√3
x=√z*y, z+y=
	2

Nie sprawdzam dalej, ... Skąd wzór na V₁? a√2 to jest długość krawędzi bocznej

	1		a√3
h2=H2+(		*		)2 wysokość ściany bocznej
	3		2

	7a2
h2=
	4

	a√7
h=
	2