podzielność liczb madzik: Wykaż, że liczba 2²⁰¹¹+3²⁰¹¹ jest podzielna przez 5

madzik: ktoś, jakoś?

loitzl9006: takie naciągane, ale trzeba będzie jakoś pokazać że ostatnia cyfra tej liczby to 0 bądź 5 kolejne potęgi dwójki kończą się na: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ... i taka czterocyfrowa sekwencja 2 4 8 6 się w kółko powtarza. czyli 2011−sta potęga dwójki będzie miała na końcu 8 (bo 2012−sta będzie miała 6). Teraz to samo z trójkami − kolejne potęgi trójki kończą się na 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, ... więc 2011−sta potęga trójki będzie miała na końcu 7. ponieważ 8 + 7 = 15, to ostatnia cyfra liczby 2²⁰¹¹ + 3²⁰¹¹ wynosi 5 więc ta liczba dzieli się przez 5

ICSP: dla nieparzystego n prawdziwy jest wzór : aⁿ + bⁿ = (a+b)(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + ... abⁿ⁻² + bⁿ⁻¹)

ICSP: Poprawiam : aⁿ + bⁿ = (a+n)(aⁿ⁻¹ − aⁿ⁻²b + ... − abⁿ⁻² + bⁿ⁻¹ )

madzik: ICSP: A skąd te wzory?

Mila: 2²⁰¹¹=(2⁴)⁵⁰²*2³ 3²⁰¹¹=(3⁴)⁵⁰²*3³ 2⁴≡1(mod5) (2⁴)⁵⁰²≡1(mod5) (2⁴)⁵⁰²*2³≡8(mod5)≡3(mod5) 3⁴≡1 (mod5) (3⁴)⁵⁰²≡1( mod5) (3⁴)⁵⁰²*3³≡27( mod5) ≡2(mod5) 2²⁰¹¹≡3 (mod5) 3²⁰¹¹≡2 (mod 5) 2²⁰¹¹+3²⁰¹¹≡5 (mod5)=0(mod 5) ==============================