Wyrażenia wymierne. Tomasz: Witam. Mam kilka stron zadań do rozwiązania (praca semestralna) i troszkę się pogubiłem. Podam po 1 przykładzie z kilku zadanek, z którymi mam problem i prosiłbym, aby ktoś mi to od deski do deski rozwiązał. Na podstawie tych rozwiązań samodzielnie wykonam resztę działań. Z góry dziękuję. 1. Wykonaj działania, Zapisz konieczne założenia.

x−1		5x3
	*
3x2		x2−1

2. Rozwiąż równanie.

2x−5		2x+3
	=
x−1		x+2

	6
3. Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji f(x)=		dla x (−∞,−1)
	x+1

(−1,∞) i g(x)=6x+x dla x R. a)Odczytaj dla jakich argumentów wartości funkcji f są nie mniejsze niż wartość funkcji g(x) b)Skorzystaj z rysunku i podaj współrzędne punktów wspólnych obu wykresów.

5-latek: https://matematykaszkolna.pl/strona/1697.html zapoznac sie z tym https://matematykaszkolna.pl/strona/1695.html rowniez z tym a takze z tym https://matematykaszkolna.pl/strona/1693.html

Tomasz: Gdy sam rozwiązywałem zadania, w pierwszym przykładzie wyszło mi tak (nie jestem pewny czy można tak w ogóle to rozwiązywać) −

x−1		5x3
	*
3x2		x2−1

Wyciągnąłem x² z 5x³ i rozdzieliłem x²−1 na x*x−1

x−1		x2(5x)
	*
3x2		x*x−1

Skróciłem na krzyż

1		5x
	*
3		x

skróciłem x i wyszło mi

5
	, czyli 123
3

Ale bardzo wątpię, iż jest to poprawnie rozwiązane.

5-latek: To nie jest poprawne rozwiazanie Na poczatek zapomniales o dziedzinie czyli 3x²≠0 to x≠0 i x²−1≠0 to (x+1)(x−1)≠0 to x+1≠0 to x≠−1 lub x−1≠0 to x≠1 czyli D=R\{0,−1,1}

	x−1		5x3
Teraz tak		*		teraz dopiero mozesz skracac czyli x3 z x2 i
	3x2		(x+1)(x−1)

	5x
x−1 z 1 licznika z (x−1) z drugiego mianownika i zostanie
	3(x+1)

Teraz tak nie mozesz tak rozlozyc x²−1 na x*x−1 bo nie skrocisz ( nie masz czynnkow do skrocenia Przeciez to x²−1 to jest flagowy przyklad do rozkladu na wzor skroconego mnozenia a²−b²=(a+b)(a−b) tak samo jak x²−4=(x+2)(x−2)

J: 2) ⇔(2x−5)(x+2) = (2x+3)(x−1) ⇔ 2x² + 4x − 5x − 10 = 2x² − 2x + 3x − 3 ⇔

	7
− x − 10 = x − 3 ⇔ 2x = − 7 ⇔ x = −
	2

Tomasz: Bardzo wam dziękuję. Takie już uroki nauczania indywidualnego, do którego jestem niestety z różnych powodów zmuszony. Dostajesz wymagania egzaminacyjne, pracę semestralną (kilka stron zadań) i wszystkiego trzeba się nauczyć samemu. W każdym razie − Jeśli dobrze rozumiem te "dziedziny" to dziedziną funkcji z mianownikiem x²−x−6 będzie 3 i −2 ? tzn. D=R\{3,−2} ?

J: Tak.

Tomasz: Żeby już nie mieszać, kolejny przykład wygląda tak −

x2−16		x2−x−20
	/
x2−x−6		x2−x−6

D = R\{3,−2} (miejsca zerowe).

x2−16		x2−x−20
	/
x2−x−6		x2−x−6

x2−16		x2−x−6
	*
x2−x−6		x2−x−20

skracam na krzyż x²−x−6 i zostaje

x2−16
x2−x−20

To wszystko, czy można to dalej rozwiązywać ?

J: A jakie jest polecenie w zadaniu ?

Tomasz: To kolejny przykład z zadania pierwszego. "1. Wykonaj działania, Zapisz konieczne założenia."

J: Licznik i mianownik da się przedstawić w postaci iloczynowej ... potrafisz ?

5-latek: Moze jeszce sie da uproscic x²−16=(x+4)(x−4)

	1+9		1−9
x2−x−20=0 delta = 81 to √81=9 wiec x1=		=5 i x2=		= −4
	2		2

wiec popstac iloczynowa bedzie taka (x−5)(x+4)

	x2−16		(x+4)(x−4)
Wiec		=		= uprosc i napisz wynik
	x2−x−20		(x−5)(x+4)

Tomasz:

	(x+4)(x−4)
Doszedłem go tego		. Uprość, czyli po prostu skróć ? w takim razie
	(x−5)(x+4)

	x−4
		?
	x−5

5-latek: Tak

Domel: Ale powinieneś jeszcze podać kolejne warunki dziedziny (twój post z 12:15)

x2−16
x2−x−20

Tomasz: odwołując się do postu użytkownika " Domel ", chciałbym już całkiem zamknąć i jednocześnie zrozumieć to zadanie, a więc do dzieła: Polecenie brzmiało: Wykonaj działania. Zapisz konieczne założenia.

	x−1		5x3
a)		*
	3x2		x2−1

	x2−16		x2−x−20
b)		/
	x2−x−6		x2−x−6

Jest jeszcze 8 przykładów, ale resztę chciałbym rozwiązać samodzielnie.

	x−1		5x3
a)		*
	3x2		x2−1

Wyznaczam dziedzinę: D=R\{0,−1,1}

	x−1		5x3
x2−1 = (x+1)(x−1), a więc:		*
	3x2		(x+1)(x−1)

	5x
x−1 się skracają, x2 z x3 także, zostaje więc:
	3x+3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	x2−16		x2−x−20
b)		/
	x2−x−6		x2−x−6

Wyznaczam dziedzinę: D=R\{3,−2}

x2−16		x2−x−20		x2−16		x2−x−6
	/		=		*
x2−x−6		x2−x−6		x2−x−6		x2−x−20

	x2−16
x2−x−6 skracają się ze sobą, także zostaje		.
	x2−x−20

Upraszczając dalej: x²−16 = (x+4)(x−4), natomiast x²−x−20 w postaci iloczynowej przedstawia się tak : (x−5)(x+4)

	x2−16		(x+4)(x−4)
Wychodzi więc na to, iż		=		, co po skróceniu daje
	x2−x−20		(x−5)(x+4)

	x−4
nam
	x−5

Doszliśmy już do tego, że równania i rozwiązania są poprawne, jednakże wracając do postu użytkownika " Domel ", chciałbym wiedzieć gdzie i kiedy mam podawać warunki dziedziny. Wiem, że to jest pierwsza rzecz, jaką powinienem zrobić, także obowiązkowo na początku zadania. A dalej ? Muszę podawać dziedzinę dla wyniku, czy kolejnych stopniach rozwiązywania zadania, jak właśnie {x²−16}{x²−x−20} ?

Tomasz: odświeżam.