Zestaw zadań- rachunek prawdopodobieństwa
Marcin: Hej. Czy mógł by ktoś wyjaśnić mi jak rozwiązać któreś z poniższych zadań?
1. Z urny, w której znajdują się 2 kule czarne oraz n białych (n≥ 2), losujemy dwie kule (bez
zwracania). Obliczyć prawdopodobieństwo, że obie kule będą białe. Jaka jest najmniejsza
wartość n, dla której powyższe prawdopodobieństwo jest większe od 1/2?
2. W pierwszej urnie znajdują się trzy kule białe i dwie czarne, w drugiej dwie białe i trzy
czarne, a w trzeciej cztery białe i jedna czarna. Z pierwszej urny losujemy jedną kulę i
wrzucamy ją do drugiej urny, następnie losujemy dwie kule z urny drugiej i wrzucamy je do urny
trzeciej. Na koniec losujemy trzy kule (bez zwracania) z urny trzeciej. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że wszystkie będą białe.
3. W pierwszej urnie znajdują się cztery kule białe i n czarnych (n≥2), a w drugiej trzy
białe i dwie czarne. Z pierwszej urny losujemy dwie kule i wrzucamy je do drugiej urny.
Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Wyznaczyć ogólny wzór ciągu P
n , opisującego
prawdopodobieństwo, że w drugim losowaniu uzyskamy obie kule czarne. Obliczyć następnie
lim
n→∞ P
n
4. Pewne doświadczenie losowe powtarzamy 4 razy w tych samych warunkach. Prawdopodobieństwo
uzyskania dokładnie dwóch sukcesów wynosi 8/27. Oblicz prawdopodobieństwo sukcesu w
jednym doświadczeniu.
5. Na odcinku o długości 1 wybrano losowo dwa punkty, dzieląc go w ten sposób na trzy części.
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że z utworzonych odcinków można zbudować trójkąt.
6. Liczby p oraz q zostały wybrane losowo z przedziału [0, 9] . Obliczyć prawdopodobieństwo
zdarzenia, że równanie x
2 + px + q = 0 nie jest sprzeczne.
7. Niech s będzie pewną liczbą dodatnią, natomiast liczby p oraz q zostały wybrane losowo
z przedziału [0, s] . Wyznaczyć wzór funkcji P(s) będącej prawdopodobieństwem tego, że
równanie x
2 + px + q = 0 nie jest sprzeczne. Obliczyć następnie lim
s→∞ P(s) .
8. W urnie znajdują się 4 sześcienne kostki do gry. Trzy z nich mają ścianki ponumerowane
liczbami 0, 1, 1, 2, 2, 2 a jedna ma na ściankach liczby 1, 1, 1, 2, 2, 3 . Z urny losujemy
dwie kostki i wykonujemy rzut taką parą kostek. Definiujemy zmienną losową X jako sumę
uzyskanych na kostkach liczb, a zmienną losową Y jako ich iloczyn. Wyznaczyć rozkłady i
dystrybuanty zmiennych losowych X i Y .
9. W urnie mamy pięć kul ponumerowanych liczbami 1, 2, 3, 4, 5 . Losujemy bez zwracania trzy
kule. Niech zmienna losowa X będzie sumą liczb na wylosowanych kulach. Wyznaczyć rozkład
i dystrybuantę tej zmiennej losowej.
10. Niech K będzie kołem o promieniu 5 . Określmy zmienną losową Y jako odległość losowo
wybranego punktu koła K od środka tego koła. Wyznaczyć dystrybuantę i funkcję gęstości
zmiennej losowej Y .
11. Oznaczmy przez T trójkąt o wierzchołkach (0,−1), (0, 5), (2, 5). Niech zmienna losowa X
określa odległość losowo wybranego punktu trójkąta T od osi Ox. Wyznaczyć dystrybuantę i
funkcję gęstości zmiennej losowej X .
12. Oznaczmy przez T trójkąt o wierzchołkach (0, 1), (0, 7), (2, 3). Niech zmienna losowa X
określa odległość losowo wybranego punktu trójkąta T od osi Ox. Wyznaczyć dystrybuantę i
funkcję gęstości zmiennej losowej X .
13. Funkcja gęstości zmiennej losowej X jest dana wzorem:
| | ⎧ | 0 dla x∊(−∞,1) | |
| fX(x) = | ⎩ | 3/x4 dla x∊<1,+∞] |
|
−Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X .
− Obliczyć prawdopodobieństwo P (2 < X < 4), P (3 < X).
14. Funkcja gęstości zmiennej losowej X ma postać:
fX(x) =C/(x
2 − 2x + 5) , x ∊ R.
−Znaleźć parametr C .
−Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X .
−Obliczyć prawdopodobieństwo P (−1 < X < 3), P (3 < X).
15. Funkcja gęstości zmiennej losowej Y jest dana wzorem:
f
Y(x) = 3e
−6|x| , x ∊ R.
−Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej Y .
−Obliczyć prawdopodobieństwo P (1≤Y<2), P (−1<Y ).
Nie, to tylko część przykładowych zadań na kolokwium 
