matura zawodus: Matura to bzdura 2 Zadanie 1 (5 pkt) Rozwiąż nierówność √1+2|x|+x²+2≥4|x+1| Zadanie 2 (4 pkt) Dany jest wielomian W(x)=x⁵+5x⁴+5x³−5x²−6x Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba W(n) jest podzielna przez 120. Zadanie 3 (6 pkt) Dla jakich wartości parametru k równanie x⁴−(3k+2)x²+k²=0 ma rozwiązania, które są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego? Zadanie 4 (5 pkt) Cztery liczby rzeczywiste tworzą ciąg geometryczny w których suma wyrazów skrajnych wynosi −21,a pozostałych 6. Znajdź te liczby. Zadanie 5 (4 pkt) Z punktu A=(1,1) wychodzą dwie proste prostopadłe przecinające oś OX układu współrzędnych w punktach B=(x₁,0) i C=(x₂,0), x₁,x₂≥0. Wykaż, że pole trójkąta ABC jest większe lub równe 1. Zadanie 6 (3 pkt) Uzasadnij, że dla a>0 i b>0 prawdziwa jest nierówność

	1		1
(a+b)(		+		)≥4
	a		b

Zadanie 7 (3 pkt) Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji

	x+1
f(x)=
	x2+x+1

Zadanie 8 (4 pkt) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że 4 czterech rzutach symetryczną kostką do gry suma wyrzuconych oczek będzie liczbą parzystą. zadanie 9 (4 pkt) Załoga złożona ze 175 robotników miała zbudować w określonym terminie odcinek autostrady A4. Po 30 dniach wspólnej pracy okazało się, że trzeba poprawić oddany wcześniej odcinek autostrady A2. Dlatego codziennie zabierano do tego zadania kolejnych 3 robotników, wskutek czego praceprzy budowie autostrady A4 zakończono z 21‑dniowym opóźnieniem. W jakim czasie planowano pierwotnie wybudować dany odcinek autostrady A4? Zadanie 10 (5 pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Odległości środka wysokości tego ostrosłupa od krawędzi bocznej i od ściany bocznej wynoszą odpowiednio a i b. Oblicz objętość tego ostrosłupa Zadanie 11 (4 pkt) W sześciokącie foremnym ABCDEF punkty M i N są odpowiednio środkami boków CD i DE. Odcinki AM i MN przecinają się w punkcie P. Wykaż, że |<APB|=60⁰. Zadanie 12 (3 pkt) Rozwiąż równanie sin2x−2sinx=1−cosx w przedziale <0,2π> Powodzenia

Marcin:

kyrtap: chyba tym razem będzie ciężej

Beti: Zaczęłam ale się poddaje, setka na majowym mi nie potrzebna

zombi: Za chwilę się biorę za to

Saizou : zadanie 9 jakie życiowe

Saizou : zad. 11 jest na pewno dobrze przepisane ?

BeforeU: Odp w pierwszym? <⁻⁷₃, +∞) ?

razor:

	7		1
ja mam <−		, −		>
	3		5

BeforeU: to masz dobrze

aaaa:(: oooooo zaraz zaczynam ciekawe czy coś zrobię

zawodus: UWAGA W 11 jest litrówka Powinno być odcinki AM i BN Dzięki Saizou

aaaa:(: w tym 1 rozbijając na 3 przypadki w każdym z nich musimy jeszcze potem uwzględnić po 2 przypadki prawda?

BeforeU: Nie w tym pierwszym tylko 3 przypadki f(x) =x f(X) = x+1

aaaa:(: dla przedziałów (−∞,−1) <−1,0) <0,+∞) ? tylko jak sobie rozpisuję to potem nan pod pierwiastkiem albo (x+1)² albo (x−1)² a to jakby kolejny moduł

BeforeU: mozna pisać odpowiedzi?

BeforeU: http://screenshooter.net/1875441/kpxrpid

BeforeU: czyli w sumie bedzie 6 przypadkow

BeforeU: Zad 2. (x−3)(x−2)(x−1)x(x+1) 5*4*3*2= 120

Piotr 10: zad.6 Średnia arytmetyczna ≥ Średnia harmoniczna

a+b		2
	≥
2		1/a+1/b

	1		1
(a+b}(		+		) ≥ 4
	a		b

aaaa:(: no czyli 3 przypadki a w każdym z nich jeszcze po 2 zaraz obliczę i ogarnę czy mam tak samo

BeforeU: Zad3. k∊ ( −∞ , −2 ) u (−²₅,+∞) prosze o sprawdzenie

razor: po co sobie życie komplikować? √x²+2|x|+1 = √(|x|+1)² = ||x|+1| mamy więc ||x|+1| +2 ≥ 4|x+1|

BeforeU: i tutaj zaczynaja sie komplikacje z opuszczniem tej wartosci bezwzglednej w dobrych przedzialach dlatego preferuje wykres

BeforeU: w 4 trzeba rozwiazac az taki dlugi uklad rownan czy jest jakis inny sposob?

razor: wcale taki długi nie jest za to chciałbym zobaczyć wasze rozwiązania zadania 11 bo zrobiłem to sposobem tak okrężnym że chyba bardziej się nie dało

52: Zad7.

	1
Najmniejsza wartość funkcji to −		, a największa to 1 ?
	3

razor: mam tak samo więc raczej tak

aaaa:(:

	7		2
w 1 mi wyszło x∊(−		,		) czyli źle −.−
	3		5

52: Zad6 Jak się nie zna "średnich" to ostatnia postać po przekształceniu ? :

(a−b)2
	≥0
ab

ab≠0 ab(a−b)²≥0 oczywista oczywistość... dobrze ?

52: Dzięki razor

muflon: (a−b)²≥0

52: no właśnie nie jestem do końca przekonany czy to tak możemy zapisać w końcu to nierówność ..

Piotr 10: Musisz dopisac komentarz jeszcze

BeforeU: Zad 7 z czego trzeba skorzystac?

muflon: z wiedzy, a raczej umiejętności

Kanoniero: Ktoś robił 7 zadanie? Jak co to mi wyszło ²₃

Kanoniero: to oczywiscie była wartość max

muflon: jakimi rachunkami doszedłeś?

Kanoniero: dobra cofam właśnie narysowałem sobie tego wykres i sie nie zgadza... probowalem wyznaczyc wierzcholek paraboli w mianowniku i podstawic ale nic nie wyszlo dobrze

Kanoniero: ktoś wie jak to zrobić?

BeforeU: Probowalem tak samo z wierzcholkiem ale skąd mamy wiedziec gdzie jest max fucnkcji kwadratowej?

muflon: Zawodus, a może zapomniałeś dopisać 2 przy x w mianowniku

MCC: "BeforeU: Zad 2. (x−3)(x−2)(x−1)x(x+1) 5*4*3*2= 120" moglby ktos wyjasnic mi zadanie 2, rozumiem ze jest to wielomian W(x) rozlozony na czynniki to (x−3)(x−2)(x−1)x(x+1), a 5*4*3*2= 120 jest z rozkladu 120 na czynniki pierwsze, ale czy ktos wyjasni mi zwiazek miedzy jednym a drugim, poniewaz jesli mialbym taki dowod na maturze, to staralbym sie to tak rozpisac aby wyciagnac 120 przed nawias.

Kanoniero: z wykresu widać że to są 1 i −¹₃

BeforeU: jezeli masz 5 kolejnych liczb to jedna z nich ejst podzialna przez 5 jedna przez 4 jedna przez 3 jedna przez 2 jedna przez 1 . a iloczyn liczb podzielnych przez 1 ,2,3,4,5 jest podzielny przez 120

MCC: dzieki, teraz rozumiem

BeforeU: Zad 8. Na pewno "symetryczną" a nie sześcienna ?

BeforeU: Zadane 8 ²¹⁶₁₂₉₆?

Marcin:

	x−1
t=		⇒ tx2+(t−1)x+t−1=0
	x2+x+1

Δ = (t−1)²−4t(t−1)=0

	1
więc t=−		, t=1
	3

Tak robiliście 7, czy jakoś inaczej?

razor: Δ ≥ 0 ale koncept taki sam

MCC: wg mnie oznacza to to samo, czy dobrze rozwiazuje to zadanie? ps. |Ω|=6⁴ wylosowane liczby utworza ciag (a,b,c,d) moga wypasc nastepujace przypadki (kolejnosc wypadniecia tych liczb nie ma znaczanie, tak?) p−parzyste n−nieprarzyste (pppp) (pppn) (ppnn) (pnnn) (nnnn) dwa z nich odrzucamy (2 i 4) 1)3⁴=81 3)? 5)3⁴=81

Marcin: razor, według mnie dając Δ≥0, to liczysz zbiór wartości

razor:

	4 2
3)		*32*32

razor: w sumie racja, ale na jedno wychodzi

Marcin: No tak Później policzę resztę

BeforeU: p+p+p+n = to chyba nieparzysta bo np 2+2+2 +1 moze byc 2 parzyste labo 2 nieparzyte lub 4 paryste lub 4 nieparzyste p+p+p+p n+n+n+n p+n+p+n p+p+n+n czyli 4 przypadki liczb parzystych jest 3 i nieparzystych jest 3 czyli 3*3*3*3 = 81 −1 przypadek 4*81 = 324 Ω = 1296 A = ³²⁴₁₂₉₆ Tak to ma wygladac

BeforeU: Dobrze zrobilem?

razor: PPPP − 3⁴ NNNN − 3⁴

	4 2
NNPP −		*32*32 = 6*34

|Ω| = 6⁴

	8*34		1		1
P(A) =		= 8*		4 =
	64		2		2

MCC: wydaje mi sie ze dobrze dokonczyl moje rozwiazanie @razor chodzi o to ze kolejnosc nie ma znaczenia, wiec przypadek ppnn i pnpn pokrywają się ( bo idac tym tropem nalezaloby jeszcze zrobic przypadki: nnpp, pnnp, nppn npnp) i wtedy by sie zagdazalo, poniewaz symbol newtona zastosowany przez razora pokazuje na ile sposobow mozemy ulozyc ciag skladajacy sie z 2 parzystych i 2 nieparzystych liczb

BeforeU: a wyjaśnisz skąd obliczyles to NNPP ?

zombi: 4. liczby (3,−6,12,−24) lub (−24,12,−6,3)

	−1
7. min max		; 1
	3

1. tak jak razorowi 2. iloczyn 5 kolejnych liczb n. 6. pomnożone am−gm

	7π		11π
12. 0,2π,		,		.
	6		6

Resztę liczę.

razor:

	4 2
Wybierasz 2 miejsca dla liczb parzystych (lub nieparzystych, nie ma znaczenia) na

sposobów, miejsca liczb nieparzystych są już wtedy określone. Dalej liczby parzyste wybierasz na 3*3 sposobów i nieparzyste też na 3*3 sposobów

zombi:

	1
prawdo
	2

Saizou : prawdopodobieństwo mozna też zrobić z drzewek xd

Marcin: Ja się zawsze w te drzewka bawię

zawodus: Jak wam idzie?

Marcin: Ja nie robię, odpoczywam na razie

Saizou : 4 poziomy to nie tak dużo, a tym bardziej że wylosowanie parzystej lub nieparzystej (za jednym rzutem) jest równoprawdopodobne xd

BeforeU: Czyli moge napisac przypadki ? 1)n+p+n+p 2)p+p+n+n 3)n+n+p+p czyli losuje 3² * 3² * 6 Nie jestem fanem 4)n+p+p+n wzorów w kombinatoryce 5)p+n+n+p 6)p+n+p+n

MCC:

	4 2
tak, to jest dokladnie to samo, bo		=3! liczy nam liczbe tych przypadkow, ktorych jest 6

zombi: 5. ciekawe, ale nie wiem czy nie przekombinowałem Wyszła ładna nierówność, więc mam nadzieję, że jest poprawnie.

zawodus: Ja myślałem, że napiszecie jedno zdanie i odpowiedź Balem się, że dałem za łatwe, ale wy je utrudniliście

Saizou : ważne żeby pokazać ze jeśli x₁<x₂ to x₂−x₁≥2 i po zabawie xd

zombi: Albo bez górnego założenia, że |x₂−x₂| ≥ 2

aaaa:(: zad 6 wyszło mi: (a−b)²≥0 dla a>0 i b>0 jest to >0. Wam też tak?

Saizou : dokładnie tak jak piszesz xda na dodatek wiemy że ABC to trójką prostokątny

zombi: Mi wyszło. Saizou zrób je do końca i powiedz mi do czego doszedłeś, bo mi ładnie powychodziło.

Saizou : skoro proste AB i AC są prostopadłe to przeciwprostokątna BC ΔABC jest najkrótsza dla lABl=lACl=√2, czyli wynosi ona 2 ⇒lx₁−x₂l≥2

	1
PABC=		*1lx1−x2l
	2

2P_ABC=lx₁−x₂l⇒2P_ABC≥2⇒P_ABC≥1

zombi:

zombi: Pole z wyznaczników czy tego wzoru z (x_a−x_b).. ?

BeforeU: a skąd wiemy . że sa prostopadłe ? z rysunku ? Przeiz punkt B nie musi byc w 0.0

Saizou : z treści zadanie

Saizou :

	1
zombi ze wzoru p=		ab
	2

Marcin: BeforeU dwie proste prostopadłe przecinające oś OX

kyrtap: Mógłby ktoś przedstawić rozwiązanie algebraiczne zadania 1? bo graficznie wiem jak rozwiązać

BeforeU: A no i znowu nie doczytałem tresci

Marcin: ||x|+1| +2 ≥ 4|x+1| kyrtap, z tym sobie nie poradzisz?

kyrtap: co muszę najpierw z siatki znaków a potem z definicji ?

Marcin: Ja liczyłbym tak |x|+1 ≥ 4|x+1| −2 |x|+1 ≤ −(4|x+1| −2) i suma zbiorów.

Piotr 10: Możecie podać odpowiedz do zadania z ostroslupem, bo zaraz ide z kompa ?

ICSP: a ja bym zapomniał o zewnętrznej wartości bezwzględnej.

jakubs: |x|+1≥4|x+1|+2 |x|+1≤−4|x+1|−2 I co teraz na przedziały ?

zawodus: Jakoś nikt nie ruszył jeszcze 3,9,10 11 12 Czekamy

Piotr 10: zawodus mozesz podac odpowiedz do zad z ostroslupem? Bo zaraz musze isc i na kompa nie bede mogl wbic, a pozniej bym sobie zrobil

Marcin: Graficznie nie jest tak kolorowo, bo ciezko cokolwiek odczytać

zawodus: Może jutro? Bo jak dam odpowiedz to będziecie liczyć pod nią Wiem, bo tak sam często robię

Piotr 10: Hehe ok

zombi: Ja zrobiłem 12.

Marcin: 12 takie typowe jest

zombi: Z ostrosłupem trzeba wykorzystać trójkąty podobne, tylko wyniki jakieś gówniane mi wychodzą.

zawodus: No 12 było najłatwiejsze

zombi: zawodus a mógłbyś podać odpowiedź do ostrosłupa?

kyrtap: Jeżeli doprowadziłem wielomian W(n) = n(n−1)(n+1)(n+2)(n+3) + komentarz mój jest poprawnie?

Piotr 10: Tak

Marcin: Zależy co to za komentarz

zawodus: zombi wynik nie jest najpiękniejszy, ale to mają do siebie zadania, w których nie ma danych liczbowych

Piotr 10: Komentarz − ''A dalej to oczywista oczywistość''

kyrtap: Marcin na pewno mądry komentarz

MCC: czy w zadaniu 3 jest dobra tresc, chodzi o to, czy w tresci zadanio pominiete to, ile powinno byc rozwiazan?

zawodus: Czy każdy chce znać odpowiedź do ostrosłupa? żeby nie było, że reszta nie będzie robić jak go zobaczy

Piotr 10: Nie gadaj głupot, dawaj odpowiedź

MCC: "BeforeU: Zad3. k∊ ( −∞ , −2 ) u (−25,+∞) prosze o sprawdzenie" czy to jest dobrze?

kyrtap: ja nie chcę np zawodus

razor: Ja się właśnie zorientowałem że źle przeczytałem polecenie więc robię jeszcze raz

Marcin: No podaj, bo Piotrek psychicznie nie wytrzyma

MCC: niewazne, ta odpowiedz jest troche bez sensu

Marcin: No faktycznie dziwna odpowiedz

razor: zrobiłem ale wynik ładnie nie wygląda

zombi: U mnie też

bans: we wtorek maturka szykujcie koszule, krawwaty długopisy i JEDZIEMY Z TYM KOKSEM !

MCC: ponawiam pytanie o zad 3, czy w tresci nie ma podanej liczby rozwiazan?

muflon: a no koszula poszła się prać

BeforeU: MCC to zrob i przedstaw swoje rozwiazanie

kyrtap: w zadaniu z ciągiem 2 serie rozwiązań?

kyrtap:

	−21
i mam pytanie jeżeli wyznaczę a1 =		i podstawię do drugiego równania to jeżeli mam
	1+q3

1 + q³ w mianowniku i potem wyjdzie q = −1 to nie biorę tego tak bo q nie należy do dziedziny, wiem że niby to proste ale pytam się tak na zaś

razor: musisz napisać uzasadnienie co się dzieje jak q = −1 bo zauważ że dzieliłbyś wtedy przez 0

kyrtap: no napisałem że nie należy do dziedziny

razor: tak, ale na jakiej podstawie ustaliłeś tę dziedzinę? Musisz podstawić q = −1 do pierwotnego równania i napisać, że wtedy wychodzą bzdury więc q ≠ −1

kyrtap: no ale jeżeli w mianowniku jest to to chyba jasne że mianownik musi być różny od zera więc ten wynik wyrzucam

MCC: ( −∞ , −2 ) u (−25,+∞) to rozwiazanie jest dziwne bo gdy je zsumujesz x∊R,znaczy to jest mozliwe (malo prawdopodobne ale mozliwe) ale chodzi o to, ze nie umiem tego zrobic, bo skoro ma byc ciag, to chyba powinny byc przynajmniej trzy rozwiazania, a ich ilosc jest nieograniczona

Marcin: a+aq³=−21

	6
aq+aq2=6 ⇒ a(q+q2)=6 ⇒ a=
	q+q2

6		6
	+		*q3=−21 → q+q2≠0 → q(1+q)≠0 → q≠−1, q≠0
q+q2		q+q2

6		6q3
	+		=−21
q+q2		q+q2

6+6q3
	=−21
q+q2

6+6q³=−21q−21q² Tak, mają być dwa rozwiązania według mnie

razor: nie możecie sobie tak po prostu podzielić bez żadnego uzasadnienia na maturze obcinają za to punkty. Trzeba zobaczyć co się dzieje gdy mianownik się zeruje, i napisać uzasadnienie

Marcin: MCC to weź wstaw sobie losową liczbę z Twojego rozwiązania i zobacz czy pierwiastki utworzą ciąg arytmetyczny

Marcin: Napisałem dziedzinę, tylko troszkę później

kyrtap: moim zdaniem tak jak Marcin jest dobrze zawsze tak robiłem i Pani nie ucinała punktów

Marcin: Ja bym tylko napisał, ze q≠−1 i q≠0. W sumie to się nie zastanawiałem nad tym, czy odjęliby za to punkty

muflon: zadanie 5: Sposób Saizou bardzo dobry Mój trochę dłuższy Zauważam, że te trójkąty mają stałą wysokość 1 Więc najmniejsze pole będzie dla najmniejszej podstawy oznaczam obie proste: y=ax+b y=−1/a+c Wyznaczam b i c podstawiając A(1;1) wyliczam miejsca zerowe x₁ i x₂ z wzoru if: y=ax+b x₀=−b/a Podstawa to będzie Ix₂−x₁I w module będę miał funkcje kwadratową, wyznaczam wierzchołek paraboli i liczę że minimalna podatwa to będzie 2. Wtedy Pole minimalne trójkąta to 2*1/2=1 P trójkąta≥1 c.n.u

kyrtap: proszę o wypowiedzenie się ekspertów w tej sprawie odnośnie warunków

MCC:

	6
k=6 v k=−		v k=0
	19

kyrtap: Marcin wejdziesz na gmaila?

Marcin: Pewnie, już jestem

zawodus: MCC odpowiedzi poprawne.

kyrtap: zawodus wypowiesz się na temat ciągu?

Marcin: Powiedz mi jeszcze jak zrobiłeś to 3 zadanie, bo ja jakoś nie mam pomysłu.

Saizou : zacznij od postaci iloczynowej xd

zawodus: A jakie proponujecie rozwiązania w drugim?

Saizou : ja już podałem swoją opcje

Marcin: 4 to mozolne rozbrajanie wielomianu Saizou, ale że jak?

zawodus: Źle spojrzałem Drugie jest już rozwiązane

Marcin: 2*!

Saizou : tylko mnie intryguje stwierdzenie że ma rozwiązania, które są kolejnymi wyrazami ciągu ayt. ile tych rozwiązań ma

zawodus: wskazówka do 3 Trzeba rozważyć dwa przypadki 3 rozwiązania lub 4 rozwiązania Dla mnie 3 rozwiązania = 3 rożne rozwiązania 4 rozwiązania = 4 różne rozwiązania

Saizou : tak też myślałem

MCC: troche sie spialem, ale osobiscie uwazam ze czego takiego na maturze nie bedzie, nie oszukujmy sie, jest za trudne skoro musimy miec ciag, wiec musza byc co najmniej 3 rozwiazania te trzy pierwiastki to a1 − r < a1 < a1 + r . wiec mamy uklad

⎧	(a−r)4−(3k+2)(a−r)2+k2=0
⎨	a4−(3k+2)a2+k2=0
⎩	(a+r)4−(3k+2)(a+r)2+k2=0

razor: a co gdy ma 2 rozwiązania? 2 liczby zawsze tworzą ciąg arytmetyczny więc też chyba się powinno wliczać?

kyrtap: razor trzy liczby tworzą ciąg

kyrtap: lub więcej

MCC: wydaje mi sie ze po prostu tresc zadania jest zla, znaczy brakuje w niej, dla ilu rozwiazan (powinno byc ze 3 lub wiecej)

zawodus: razor tutaj do końca nie wiem jak jest, np Pan Andrzej Kiełbasa podaje, że ciąg aby był arytmetyczny lub geometryczny musi posiadać co najmniej 3 wyrazy. Moja książka (rok 1992) też tak podaje. Nie zastanawiałem się nad tym Podpytamy "starszych"

MCC: znalazlem teraz to samo rownanie, ale z inna trescia zadania w necie, (3 lub wiecej) jest rozwiazane na 2 sposoby, ale nie wiem czy moge podawac tutaj link do zewnetrznych stron

zawodus: MCC możesz zawsze przepisać

zawodus: Proponuję poprawić treść zadania na: Dla jakich wartości parametru k równanie x⁴−(3k+2)x²+k²=0 ma co najmniej trzy różne rozwiązania, które są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego? Teraz nie będzie wątpliwości

zawodus: Widzę, że maturka was przerosła

razor: wrzucisz rozwiązanie zadania 9, albo chociaż jakąś wskazówkę? próbowałem robić ale wychodziły mi jakieś bzdury

MCC: 2 sposob jest taki, ze za x² podstawiamy t t² − (3k+ 2)t+ k² = 0 . zeby rownanie mialo 4 rozwiazanie, nasze rownanie z te musi miec 2 rozwiazania dodatnie t₁ i t₂, wtedy rozwiazaniami orginalne rownania są ±√t₁ i ±√t₂, wtedy nasz ciąg możemy ułożyć na 4 rozne sposoby jakiej liczby tworzą ciąg arytmetyczny. (−√t₂,−√t₁, √t₁) (− √t₁,− √t₂,√t₁) (− √t₁,√t₂, √t₁) (−√t₁,√t₁,√t₂). korzystajac z wlasnosci ciagu arytmetycznego 2b=a+c −2√t₁=−√t₂+√t₁ ⇒ 3√t₁=√t₂ ⇒ t₂=9t₁ −2√t₂=−√t₁+√t₁⇒ t₂=0 2√t₂=−√t₁+√t₁⇒ t₂=0 2√t₁=−√t₁+√t₂⇒ 3√t₁=√t₂ ⇒ t₂=9t₁ wrocmy do rownania i sprawdzmy co sie dzieje gdy t=0 t² − (3k+ 2)t+ k² = 0 ⇒ k²=0 ⇒k=0 nasze rownanie ma wtedy postac t²−2t=0 ⇒ t(t−2)=0 ⇒ x²(x²−2)=0 ⇒x²(x−√2)(x+√2)=0 x₁=0 v x₂=√2 v x₃=−√2 (−√2,0,√2)− c.arytmetyczny, k∊do rozwiazania pozostalo sprawdzic dla jakich wartosci k, nasze rownanie z "t" ma 2 dodatnie rozwizania, spelniajace warunek t₂=9t₁

−b+√Δ		−b−√Δ
	=9
2		2

−b+√Δ=9(−b−√Δ) ⇒ 10√Δ=−8b ⇒ 5√Δ=−4b |( )² ⇒ ⇒25Δ=16b² ⇒ 25(b²−4ac)=16b² ⇒ 9b²−100ac=0 i teraz z dane z rownania 3²*(3k+2)² −100k²=0 ⇒(9k+6)²−(10k)²=0 (9k+6−10k)(9k+6+10k)=0 (6−k)(19k+6)=0

	6
k=6 v k=−		v (z poprzednieg przypadku) k=0
	19

Otrzymane wartości k trzeba sprawdzić – po drodze równanie podnosiliśmy do kwadratu, więc mogły się pojawić jakieś fałszywe rozwiązania. (mozna po prostu podstawic k do rownania i zobaczyc czy otrzymane pierwiastki tworza ciag arytmetyczmy), ale tez mozemy przeprowadzic analize przekształceń Był tylko jeden taki moment, gdy podnosiliśmy równanie do kwadratu 5√Δ=−4b |( )² 25Δ=16b² Kiedy to przejście jest równoważnością (tzn. nie dokładamy żadnych dodatkowych pierwiastków)? – jeżeli wiemy, że obie strony są dodatnie. Lewa jest, a prawa jest, o ile b < 0 – tak jednak

	6
jest zarówno dla k=6 i dla k=−
	19

Marcin: Zdecydowanie niematuralne zadanie.

MCC: tez tak sadze, zawodus chyba troszke przeszadzil

razor: to co z tym zadaniem 9 zawodus?

zawodus: Zadanie 9 jest z poziomu podstawowego Tamto rzeczywiście trochę za trudne Ale jak wam daję łatwe, to 10 minut i po sprawie

Marcin: Musimy załozyć, że każdy pracownik pracuje z tą samą wydajnością, czyli zadanie traci swój realizm

Saizou : Marcin zadanie traci swój realizm, bo 174 pracowników się przygląda a tylko 1 robi

Marcin: Tak bym napisał na maturze

zawodus: To w Polsce tak tylko Każde zagadnienie rzeczywiste w teorii jest i realizowane

zawodus: Marcin egzaminator napisał by, 1 pkt /5 za inteligencję

Marcin: Jak dla mnie, to powinni dać maxa

Domel: Czy zapis Dlatego codziennie zabierano do tego zadania kolejnych 3 robotników oznacza, że 1−go dnia na A2 zabrano 3 prac. 2−go dnia 6 prac, 3−go dnia − 9 prac. czy może, że 1−go dnia wzięto 3 pracowników, po pracy ich odwieziono na A4 a 2−go dnia wzięto 3 kolejnych wypoczętych i tak każdego dnia

zombi: Zadanie z podstawy tylko dlatego, że nie wymaga użycia narzędzi z rozszerzenia. Samo stwierdzenie, że pochodzi z podstawy nie umniejsza trudności tego zadania. Wiele było takich zadanek, które pochodziły z podstawy a zaginały wielu rozszerzonych. Moim zdaniem szufladkowanie podstawa/rozszerzenie wcale nie oddaje realnej trudności zadania, jednak w większości przypadków R oznacza trudniejsze.

Domel: It's a joke

Matejko: zawodus podaj odpowiedzi do wszystkich bez rozwiązań same odpowiedzi

zawodus: Domel codziennie zabierano po 3 robotników W sumie pierwszego dnia zabrano 3, po dwóch dniach na budowie było o 6 mniej itd. Za chwilę podań odpowiedzi do zadań, które nie są dowodami

Domel: No cóż − to mamy "problem"..... z ciągiem..................... arytmetycznym − a właściwie − to będzie potrzebna suma ciągu

zawodus: Oficjalne odpowiedzi: Zadanie 1

	7		1
x ∊ <−		,−		>
	3		5

Zadanie 2 dowód Zadanie 3

	6
k=0, k=6, k=−
	19

Zadanie 4 te liczby to: −24,12,−6, 3 i tworzą dwa ciągi Zadanie 5 dowód Zadanie 6 dowód Zadanie 7

	1
Zw=<−		,1>
	3

Zadanie 8

	1
P(A)=
	2

Zadanie 9 Pierwotnie prace miały trwać 58 dni Zadanie 10

	16a3b3
V=		, 0<b<a<b√2
	3(a2−b2)√2b2−a2

Zadanie 11 dowód Zadanie 12

	7π
x∊{0,		,2π}
	6

Jak macie uwagi to czekam mogły się trafić pomyłki w przepisywaniu

oskar: W tym z pracą będzie suma ciągu aryt. Myślałem nad czymś takim Niech t − czas potrzebny, aby ukończyć w terminie wobec tego całkowita praca to 175*t natomiast nasi robotnicy robią to tak: 30*175 + 172*(a−30+1) + 169(a−30+2) + ... + 112(a−30+21) = 175a tylko nie wiem czy wyjdzie z tego coś.

zawodus: A co oznacza a? Pomysł nawet niezły

oskar: a mialo byc t

zawodus: Problem w tym że prace wydłużyły się o 21 dni stosunku do zaplanowanego planu a nie do 30 dni

MCC: zawodus− czy aby napewno 58? wyszlo mi 47,7≈48

MCC: teraz mam wrazenie ze pominąlem cos istotnego w zadaniu, i przez co zle zrobilem zadanie

zawodus: MCC pokaż rachunki

Domel: zawodus − tak można d − ilość dni do planowego zakończenia prac na A4 (od 30 dnia) n − ilość dni do faktycznego zakończenia prac − n = d + 21 1. Obliczam ile osobodni poświęcono na naprawę A2

	1+n
T1 = 3+6+9+...+3n = 3*(1+2+3+...+n) = 3*(		*n)
	2

2. Obliczam stratę osobodni z powodu napraw A2 T₂ = 175* 21 = 3675

	1+n
T1 = T2 => 3*		*n = 3675
	2

1+n
	*n = 1225
2

n² + n − 2450 = 0 Δ = 1 + 9800 = 9801 => √Δ = 99

	−1−99
n1 =		= −50 −> odpada
	2

	−1+99
n2 =		= 49
	2

d = n−21 = 49−21 = 28 D = 30 + d = 30 + 28 = 58 A może ktoś inaczej to zrobi ?

mietek: Domel elegancko tylko zwrot "osobodni" bym zamienił na roboczodniówki Ja liczyłem przy pomocy równania, ale rachunki identyczne

lisek: bzdura mietek ty nic nie umiesz tylko obrażasz innych

mietek: umiem więcej niż ty

lisek: Ja mam 3 doktoraty !

mietek: drogie były? w ogóle to po co ja z tobą rozmawiam? szkoda mojego czasu na ciebie...

daras: panowie ja mam doktorat honoriscausa uniwersytetu w Wollongong

zawodus: Widzę, że jakieś zamieszki tutaj były Rozwiązanie Domela poprawne

Domel: Ale mnie nie przebijecie − pisałem rozprawkę na temat wpływu zorzy polarnej na rozwój kolarstwa w Chinach A poważnie + próbowałem też zad. 9 robić za pomocą pojedynczego równania i liczyłem, że ktoś to podejmie. Ale z braku odzewu − to chyba też poprawnie L − droga na A4 do zrobienia od 30 dnia d − ilość dni do planowego zakończenia prac na A4 (od 30 dnia) n − ilość dni do faktycznego zakończenia prac − n = d + 21 L = 175*d = 175*(n−21) = 175n − 3675 A drugie równanie zakłada pracę pewnej liczby pracowników przez 1 dzień L = (175−3)*1 + (175−6)*1 + (175−9)*1 + ... + [175−(3n−3)]*1 + (175−3n)*1 L = (175−3) + (175−6) + (175−9) + ... + [175−(3n−3)] + (175−3n)

	1+n
L = 175*n − (3+6+9+...+n) = 175n − 3(1+2+3+...+n) = 175n − 3*(		*n)
	2

	1+n
175n − 3*(		*n) = 175n − 3675
	2

	1+n
− 3*		*n = − 3675
	2

1+n
	*n = 1225
2

n² + n − 2450 = 0 No a dalej to jak w moim poście z godz. 00:42

zawodus: Ja liczyłem jakoś tak t− liczba dni planowa t−30+21=t−9 − liczba dni, gdzie ubywało pracowników 175t − praca do wykonania Mamy ciąg arytmetyczny a_n=175−3n

	172+175−3*(t−9)
St−9=		*(t−9)
	2

Dostajemy równanie

	172+175−3*(t−9)
175t=175*30+		*(t−9)
	2

rozwiązanie to t=58

Bogdan: Szkic rozwiązania, może komuś się przyda. h² = 4w² + c² k² = 4w² + 2c²

	b2		c2		a2		2c2
cos2β =		=		cos2α =		=
	w2		h2		w2		k2

c² w² = b²(4w² + c²) a²(4w^a + 2c²) = 2c²w² ⇒ 2a²w² = c²(w² − a²)

	4b2w2		4b2w2
c2 =		2a2w2 =		*(w2 − a2)
	w2 − b2		w2 − b2

	a2b2
w2 =
	2b2 − a2

	2a2b2
c2w2 − b2c2 = 4b2w2 ⇒ c2 =
	a2 − b2

	1		1		2a2b2		ab
Objętość V =		*4c2*2w =		*4*		*2*		= ...
	3		3		a2 − b2		√2b2 − a2

Bogdan: Chodzi o rozwiązanie zadania 10. Nie widzę swojego rysunku dołączonego do tego rozwiązania.

Baysonn: Na czym polega mój błąd w rozumowaniu w rozwiązywaniu zadania 9? T− termin planowany zakończenia prac. 175T=W 175*30+[175−3(T+21)](T+21)=W

Matejko: zaraz zrobie