TRYGONOMETRIA SŁABY: Witam! MAM problem z rozwiązaniem zadan z trygonometrii: 1. Znajdz dziedzine , zbiór wartości oraz okres funkcji a) y = 3sin2x b) y = 2 − |cosx|

	cosx
c) y = 2cos2x + (		)2
	ctgx

SŁABY: ?

Maslanek: Dziedzinę możesz sam wyznaczyć akurat. Wtedy pogadamy

SŁABY: A dziedzina to chyba : D = R

SŁABY: ?

SŁABY: ?

SŁABY: Bardzo prosze o pomoc, nie rozumiem jak to zrobic

SŁABY: wytłumaczy mi to ktoś

loitzl9006: a) D = R zgadza się zbiór wartości będzie taki: y ∊ <−3 ; 3>. On zależy od tego co jest przed sinusem. zbiór wartości zwykłego sinusa tj. y=sin(x) (albo y=sin(2x)) to <−1; 1>, a ta 3 przed sinusem powoduje że tam gdzie zwykła funkcja przyjmuje wartości 1 i −1, to ta przyjmuje odpowiednio 3 i −3. Stąd taki zbiór wartości. okres funkcji będzie równy π. Okres zwykłego sinusa (zwykłego czyli z samym x w argumencie) to 2π. Dlaczego 2π ? Spójrz na wykres funkcji y=sin(x). Ona jest złożona z takich powtarzających się fal. Okres funkcji to jedna taka pełna fala. Od x=0 do x=2π, jak nietrudno zauważyć. Zatem długość przedziału jest równa 2π czyli okres funkcji y=sin(x) to 2π. Okres funkcji nie zależy od tego co stoi przed sinusem (to odpowiada tylko za wysokość górek), on zależy tylko od tego co jest w argumencie (w nawiasie). My mamy y=3sin(2x) czyli co? wartość funkcji zmienia się 2 razy szybciej, więc cała ta fala będzie 2 razy krótsza. Więc okres funkcji y=3sin(2x) jest 2 razy krótszy od y=sin(x), czyli będzie równy π. b) D = R, zbiór wartości to <1; 2>. Dlaczego ? funkcja y=2−|cos(x)| powstaje z funkcji y₁=cos(x) (której zbiór wartości to <−1; 1>) potem z tego robimy y₂=|cos(x)| czyli odbijamy do góry to co pod osią x, zbiór wartości takiej funkcji to <0; 1>, potem robimy y₃=−|cos(x)| czyli odbicie lustrzane wykresu y₂ względem osi x−sów (zb. wart. y₃ to <−1; 0>) i wreszcie z y₃ dochodzimy do y=−|cos(x)|+2 poprzez przesunięcie wykresu y₃ dwie jednostki do góry. zbiór wartości funkcji y to <1; 2>. co do okresu funkcji, to radzę narysować sobie te przekształcenia y₁ → y₂ → y₃ → y. Zauważysz wtedy, że funkcja y składa się z takich dołków (paraboli−szlaczków → wspomnienie z podstawówki). okres to jedna taka parabolka. Czyli okres będzie wynosił π. c) Dziedzina: w mianowniku masz ctg(x), który nie może być zerem. zatem uwzględniając to, że

	cos(x)
ctg(x)=		mamy dwa warunki:
	sin(x)

sin(x)≠0 oraz cos(x)≠0

	kπ
D = R \ {		}
	2

co do zbioru wartości, to trzeba przekształcić nieco wzór funkcji. Na początek wykorzystajmy

	cos(x)		cos(x)		sin(x)
to, że		=		= cos(x) *		= sin(x)
	ctg(x)		cos(x)sin(x)		cos(x)

Czyli wzór funkcji można przedstawić jako y=2cos²(x)+sin²(x)=cos²(x)+sin²(x)+cos²(x)=1+cos²(x) po drodze wykorzystałem jedynkę trygonometryczną zauważ, że takie coś jak cos²(x) przyjmuje wartości z zakresu <0;1> (pomyśl dlaczego ?) i jak do tego dodamy 1 to się okaże że zbiór wartości to <1;2> co do okresu funkcji, to tutaj ta 1 we wzorze 1+cos²(x) nie ma znaczenia. tylko cos²(x) ma znaczenie. zobacz −> dla argumentu x=0 takie coś jak cos²(x) przyjmuje wartość 1. dla jakiego kolejnego iksa wartość wyrażenia cos²(x) będzie znowu równa 1 ? dla x=π. Co prawda cosπ=−1, ale taki cosinus podniesiony do kwadratu da +1. I tutaj okres funkcji z zadania będzie równy moim zdaniem π.

loitzl9006: poprawka do zbioru wartości −> będzie (1; 2) a nie <1; 2> , przecież (zgodnie z dziedziną) nie może być sin(x)=0 ani cos(x)=0.

loitzl9006: poprawka do przykładu c) oczywiście

SŁABY: loitzl9006 , bardzo bardzo dziekuje, teraz mniejwiecej juz to rozumiem, przynajmniej podpuunkt a , ale mysle ze zaraz zapoznam sie lepiej z b i c, co do przykładu c: na pewno dobrze zrobiles te rownanie: y=2cos²(x)+sin²(x)=cos²(x)+sin²(x)+cos²(x)=1+cos²(x) gdze zniklad ta 2 z samego poczatku przy 2cos²(x)

loitzl9006: zamieniłem 2cos²(x) na cos²(x)+cos²(x), a to tylko po to, aby skorzystać później z jedynki tryg.

Julaaa: loitzl9006 , mam jeszcze pytanko co do przykladu c: co robi to ze cos² ze cos jest do kwadratu to ma jakis wplyw na okres, zbior wartosci czy cos

loitzl9006: no ten cos(x) to jest jakaś liczba (dodatnia bądź ujemna, z zakresu od −1 do 1). Jak jest cosinus podniesiemy do kwadratu, czyli będzie cos(x) * cos(x) albo inaczej cos²(x) to takie coś nie może już przyjmować ujemnych wartości. Dlaczego? Jeżeli cos(x) jest dodatni, to wiadomo że cos²(x) też dodatni. Jeżeli nawet cos(x) byłby ujemny, to iloczyn cos(x)*cos(x) już będzie dodatni (dwie ujemne liczby pomnożone przez siebie dają dodatni wynik, (−) * (−) = (+) ) także jakiś tam wpływ na zbiór wartości ma (nie przyjmuje ujemnych) jak i na okres (trochę zmienia się kształt wykresu, trzeba to wziąć na wyobraźnię, coś tam narysować itp)

Julaaa: PodpowiesZ?

Julaaa: Dziękuję!