Dwumian Newtona-POMOCY!!!!!!!!!!!!! Pearlita: Czy jest ktoś tak miły, że zechciałby wytłumaczyć mi o co chodzi z tym dwumianem Newtona? Silnię miałam na lekcji, ale dwumian (nie wiem jakim cudem) nie! I niestety kompletnie nie radzę sobie z tymi zadaniami. Wiem, że jest tutaj sporo stron o tym, ale niestety żadna nie pozwoliła mi skutecznie tego zrozumieć− chyba potrzebuję wytłumaczenia jak dziecko z przedszkola Nawet jeśli zrozumiem jakieś konkretne zadanie to gdy mam inne to już klapa− nie wychodzi. Zawsze próbuję rozwiązywać tego typu zadania drzewkiem z prawdopodobieństwem, ale wtedy wynik się różni. Nie ogarniam tego

PW: A podręcznika nie masz? Samo pojęcie to jeden wzór, a zastosowanie to liczenie podzbiorów. Dłużej pisałaś pytanie niż zajęłoby spojrzenie do książki.

Pearlita: Tak mam wzór, definicję i tak dalej, ale chodzi mi o wytłumaczenie krok po kroku na jakimś konkretnym przykładzie, bo o ile teoria jest zrozumiała, to w praktyce zawsze coś źle mi wychodzi. Nie wiem dlaczego akurat tego zagadnienia nie mogę zrozumieć, nie jestem jakaś tępa z matmy.

Bogdan: Dwumian Newtona: (a + b)ⁿ =

	n 0
=		anb0 + (pierwszy wyraz rozwinięcia)

	n 1
+		an−1b1 + (drugi wyraz rozwinięcia)

	n 2
+		an−2b2 + (trzeci wyraz rozwinięcia)

	n 3
+		an−3b3 + (czwarty wyraz rozwinięcia)

+ ... +

	n k−1
+		an−k+1bk−1 + (k−ty wyraz rozwinięcia)

+ ... +

	n n−1
+		a1bn−1 + (n−ty, czyli przedostatni wyraz rozwinięcia)

	n n
+		a0bn (ostatni wyraz rozwinięcia)

Wszystkich wyrazów rozwinięcia dwumianu Newtona (a + b)ⁿ jest n+1. Przykład. Trzynastym wyrazem (k = 13) rozwinięcia (x + 2√x)²³ (n = 23) jest

23 12
	x11*(2(√x)12 = 4096x11*x6 = 4096x17

PW: Bogdan, obawiam się że za wysoko poleciałeś. Koleżanka pisze, że miała silnię, ale dwumianu Newtona − nie. Dlatego myślę, że po prostu pytała o symbol Newtona.

Pearlita: A coś takiego? Na stole leżało 14 banknotów: 2 banknoty o nominale 100 zł, 2 banknoty o nominale 50 zł i 10 banknotów o nominale 20 zł. Wiatr zdmuchnął na podłogę 5 banknotów. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że na podłodze leży dokładnie 130 zł. Odpowiedź podaj w postaci ułamka nieskracalnego. To zadanie maturalne z 2007 roku, nie mam pojęcia jak to rozwiązać. Tzn. znalazłam klucz z rozwiązaniem, ale nie wiem co skąd wynika Ewentualnie jest jakaś metoda matematyczna, którą można zastąpić dwumian Newtona. Jak pisałam wcześniej z reguły próbowałam te zadania rozwiązywać drzewkiem z prawdopodobieństwem, ale zawsze wynik się różnił− mniej albo więcej, ale się różnił.

PW: Na stole jest 14 banknotów, zdmuchnięto dowolne 5 spośród nich Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω można więc opisać jako zbiór wszystkich 5−elementowych podzbiorów zbioru 14−elementowego. Wobec tego

	14 5
|Ω| =		.

Pewne zdarzenia (już nie elementarne) zbioru Ω można opisać poprzez rozwiązania równania (1) x₁ + x₂ + x₃ = 5, gdzie (2) 0 ≤ x₁ ≤ 2, 0 ≤ x₂ ≤ 2, 1 ≤ x₃ ≤ 5. Przez x₁ oznaczyliśmy liczbę zdmuchniętych banknotów 100−złotowych, przez x₂ −0 liczbę zdmuchniętych banknotów 50−złotowych, a przez x₃ − liczbę zdmuchniętych banknotów 20−złotowych. Ograniczenia biorą się z liczby banknotów poszczególnych nominałów oraz z liczby wszystkich zdmuchniętych banknotów. Na przykład rozwiązanie (2,1,2) oznacza, że zdmuchnięte zostały odpowiednio; − dwie stuzłotówki, − jedna pięćdziesięciozłotówka − dwie dwudziestozłotówki. Wypiszmy wszystkie możliwe rozwiązania: (0,0,5), (0,1,4), (1,0,4), (1,1,3), (1,2,2), (2,1,2), (2,2,1). Widać, że interesujące nas zdarzenie A − sumę 130 − otrzymamy tylko dla rozwiązania (0,1,4) (bo 1•50+4•20 = 130). Rozwiązanie takie odpowiada następującym zdarzeniom elementarnym: "zdmuchnięto jedną z 2 pięćdziesięciozłotówek i 4 spośród 10 dwudziestozłotówek", zdarzeń takich jest

	2 1		10 4		10 4
|A| =		•		= 2•

	10 4
(z każdym z 2 możliwych wyborów 50−złotówki możliwe jest wybranie jednego z

4−elementowych podzbiorów dziesięciu 20−złotówek). Odpowiedź: na mocy twierdzenia zwanego klasyczną definicją prawdopodobieństwa

	|A|		10 4   2•		10!   2•   4!•6!
P(A) =		=		=		=
	|Ω|		14 5		14!     5!•9!

	30
=
	143

o ile nie pomyliłem się w rachunkach.

PW: Poprawka: pominąłem niektóre rozwiązania: (2,0,3), (0,2,3), − trzeba je dopisać, ale nie mają one wpływu na odpowiedź.