Macierze Renata: wyznaczyć macierz odwrotną: 1 0 2 C= I −3 4 0 I 1 −4 −4 3 0 1 A= I 1 −2 0 I 4 −1 2 Prosze o rozpisanie co mam zrobić. Z góry dziękuje za pomoc

Janek191: Obliczamy wyznacznik macierzy C det C = 1*4*(−4) +0*0*1 + (−3)*(−4)*2 − 1*4*2 − (−3)*0*(−4) − (−4)*0*1 = −16 + 24 − 8 = 0 Ta macierz nie ma macierzy odwrotnej bo det C = 0. −−−−−−−−−− Obliczamy wyznacznik macierzy A det A = 3*(−2)*2 + 0*0*4 + 1*(−1)*1 − 4*(−2)*1 − 1*0*2 − (−1)*0*3 = − 12 − 1 + 8 = − 5 ≠ 0 Macierz odwrotna istnieje. Tworzymy macierz minorów [ M_ik] danej macierzy A, np. M₁₁ otrzymujemy skreślając 1 wiersz i 1 kolumnę i obliczając det tego co pozostanie: czyli M₁₁ = −2*2 − (−1)*0 = − 4 Analogicznie postępujemy z pozostałymi ośmioma minorami M₁₂ − skreślamy 1 wiersz i 2 kolumnę M₁₂ = 1*2 − 4*0 = 2 Analogicznie M₁₃ = 1*(−1) − 4*(−2) = 7 M₂₁ = 0*2 − (−1)*1 = 1 M₂₂ = 3*2 − 4*1 = 2 M₂₃ = 3*(−1) − 4*0 = − 3 M₃₁ = 0*0 − (−2)*1 = 2 M₃₂ = 3*0 − 1*1 = − 1 M₃₃ = 3*(−2) − 1*0 = − 6 Mamy macierz minorów I − 4 2 7 I I 1 2 − 3 I = [ M_ik ] I 2 − 1 − 6 I Teraz otrzymujemy macierz dopełnień algebraicznych [ A_ik] mnożąc kolejno wszystkie minory macierzy [ M_ik] przez (−1)^{i + k} , gdzie i jest wskaźnikiem wiersza, a k jest wskaźnikiem kolumny. Np. A₁₁ = (−1)^{1 + 1} *(−4) = − 4 A₁₂ = (−1)¹⁺²*2 = − 2 A₁₃ = (−1)¹⁺³*7 = 7 oraz A₂₁ = − 1 A₂₂ = 2 A₂₃ = 3 A₃₁ = 2 A₃₂ = 1 A₃₃ = − 6 Mamy więc I − 4 − 2 7 I I − 1 2 3 I = [ A_ik ] I 2 1 − 6 I Teraz transponujemy tę macierz i otrzymujemy macierz dołączoną A^D macierzy A : I − 4 − 1 2 I I − 2 2 1 I = A^D = [A_ik]^T I 7 3 − 6 I Macierz odwrotną A⁻¹ otrzymamy mnożąc macierz dołączoną przez odwrotność wyznacznika, czyli

	1
przez −		,
	5

zatem I ⁴₅ ¹₅ − ²₅ I A⁻¹ = I ²₅ −²₅ −¹₅ I − macierz odwrotna do macierzy A I −⁷₅ −³₅ ⁶₅ I A*A⁻¹ = I gdzie I 1 0 0 I I = I 0 1 0 I macierz jednostkowa I 0 0 1 I

5-latek: To w takim razie co robila Pani Renata na wykladzie i cwiczeniach ? Nawet wyznacznika nie potrafi policzyc ? Albo nie umie albo w czystej postaci lenistwo i nie chce sie liczyc

Renata: Dziękuje Janek191 5−Latek, nie wiedziałam np. że jak wyznacznik wynosi 0 to nie można obliczyć macierzy odwrotnej. Nie umiałam do końca policzyć tego ale wyznacznik wiedziałam. W każdym razie nie chcę nikogo zamęczać, po prostu potrzebuje pomocy

Raf: Metoda podana powyżej jest skuteczna tylko dla macierzy 2x2 lub 3x3