calki zadanie: Obliczyc nastepujace całki poprzez konstrukcje ciagu podziałów dziedziny oraz obliczenie granicy ciagu sum Riemanna a) ₂∫⁴ x¹⁰dx (Wsk. 2*2^k/n) moge prosic o pomoc? generalnie umiem obliczyc te calke ale nie wiem jak to zrobic wykorzystujac te sumy

Trivial: Masz podany ciąg podziałów. x_k = 2*2^k/n = 2*2^0/n, 2*2^1/n, 2*2^2/n, 2*2^3/n, ..., 2*2^n/n Szerokości podziałów to: Δx_k = x_k+1 − x_k = 2*2^(k+1)/n − 2*2^k/n = 2*2^k/n(2^1/n − 1) → 0. Podstawiasz do definicji i liczysz: ∫₂⁴ x¹⁰dx = lim_n→∞ ∑_k=0..n−1 (x_k)¹⁰Δx_k = = lim_n→∞ ∑_k=0..n−1 (2*2^k/n)¹⁰*2*2^k/n(2^1/n − 1) = lim_n→∞ 2¹¹(2^1/n−1) ∑_k=0..n−1 (2^11/n)^k = ... Trzeba wykorzystać wzór na sumę ciągu geometrycznego.

zadanie: moze od poczatku bo za bardzo nie rozumiem (szczegolnie te podzialy dziedziny) calka oznaczona to granica sumy Riemanna suma Riemanna (od k=1 do n) : ∑f(t_k)Δx_k ,gdzie Δx_k=x_k−x_k−1 oraz t_k ∊ [x_k−1, x_k] punkty w przedzialach podzialu P. i jak sie robi te podzialy dziedziny?

zadanie: moge prosic o pomoc?

kyrtap: tak, a co?

zadanie: o wyjasnienie o co chodzi z tymi podzialami? w jaki sposob to zrobic bo ja nie wiem co do tego wzoru mam nawet podstawic

zadanie: ?

zadanie: ?

zadanie: ?

Trivial: t_k wybiera się z przedziału [x_k,x_k+1] (w mojej definicji). Ja wybrałem wszędzie x_k.

zadanie: a gdybym mial taka calke ∫₀²⁰ xdx. moglbym prosic o jeszcze pokazanie tego przykladu z tym podzialem ale teraz z przedzialu [x_k−1, x_k]?

zadanie: ?

zadanie: ?

zadanie: ?

Trivial: Nie rozumiem o co pytasz... Ciągi podziałów mogą być przeróżne (np. arytmetyczny, geometryczny, ...).

zadanie: chce policzyc sume: n

	1−qn
∑(211/n)k ; wzor na sume ciagu geometrycznego Sn=a1*
	1−q

k=1 a₁=2^11/n; q=2^11/n

	1−(211/n)n
Sn=211/n*
	1−211/n

dobrze jest do tej pory?

Krzysiek: ok

zadanie:

	1−(211/n)n		1−211
Sn=211/n*		=211/n*		=
	1−211/n		1−211/n

	211/n(1−211)
=		da sie to moze jeszcze jakos uproscic?
	1−211/n

	211/n(1−211)
teraz chce policzyc granice: (n→∞) lim 211(1−2−1/n)*
	1−211/n

jakim sposobem? moze de Hospitala ? (to wyrazenie 2¹¹(1−2^−1/n) stala przed znakiem tej sumy)

Trivial: Nie chce mi się sprawdzać. Zadanie jest raczej proste (choć trochę żmudne) i nie ma co kombinować. Suma całkowa wynosi:

	211−1		21/n−1
Sn = 211(21/n−1)		= 211(211−1)*
	211/n−1		211/n−1

Tutaj można skorzystać chociażby z reguły de l'Hospitala aby otrzymać:

	1		4192256
S = limn→∞ Sn = 211(211−1)*		=		.
	11		11

Trivial: I jeszcze małe sprawdzenie: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+from+2+to+4+of+x^10 Zgadza się.

zadanie: dziekuje

zadanie: probuje obliczyc te granice i mi nie wychodzi moja suma ostatecznie wyszla taka:

	211/n(1−211)
211(1−2−1/n)*
	1−211/n

	1		21/n−1
wyrazenie 1−2−1/n=1−		=
	21/n		21/n

	21/n−1		211/n(1−211)
czyli 211		*		=
	21/n		1−211/n

	21/n−1
=211(1−211)*210/n*
	211/n−1

	21/n−1
pomijajac stala 211(1−211) licze granice z wyrazenia 210/n*
	211/n−1

	21/n−1
(n→∞) lim 210/n*
	211/n−1

zadanie:

	1
ok wyszlo
	11

wczesniej zle obliczalem pochodna