Wykaż że jeżeli Matejko: Wykaż że jeżeli x+y+z=0 to x³+y³+z³=3xyz proszę o wskazówkę

Piotr 10: Przeczuwam Średnia potęgowa ≥ Średnia arytmetyczna

Piotr 10: Co ja gadam, nie patrz to co wyzej napisalem

Marcin: z=−x−y x³+y³+(−x−y )³=3xy(−x−y) Możesz się trochę pomęczyć, ale przedstaw to jako równanie zawsze prawdziwe

Saizou : Piotrze a czemu źle tylko wystarczy to poszerzyć xd

	a3+b3+c3		a+b+c
3√		≥		≥3√abc
	3		3

a³+b³+c³≥3abc a równość zachodzi tylko dla a+b+c=0

Piotr 10: kurcze wyczuwalem srednia geometryczna tez

Saizou :

Saizou : ciekawe dlaczego nie mówi się średnia sześcianowa jak jest kwadratowa to może być sześcianowa

Piotr 10: Może dlatego, że ta średnia jest rzadko używana

ZKS: Saizou ze średnimi trzeba uważać i wiedzieć kiedy można stosować mam nadzieje że to wiesz.

Wazyl: Saizou równość ta nie zachodzi przypadkiem gdy a=b=c ?

Marcin: Saizou to ponoć specjalista od średnich

Saizou : a no tak, raz się na tym złapałem i nie chcę powtarzać tego błędu

ZKS:

Saizou : Marcinie specjalistą ta ja nie jestem już kiedyś mówiłem

ZKS: Zobacz wpis który napisał Wazyl.

Saizou : Wazyl

	a3+b3+c3		a+b+c		a3+b3+c3
3√		≥		=0 i jest to najmniejsza wartość 3√
	3		3		3

	a+b+c
0=		≥3√abc i jest to największa wartość 3√abc
	3

zatem równość między

	a3+b3+c3
3√		a 3√abc jest dla wartości =0
	3

Saizou : a no tak Wazyl ma rację trochę się zapędziłem

ZKS: Wykorzystuję nie zbyt znaną równość (x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ + 3(x + y)(x + z)(y + z) (x + y + z)³ − 3(x + y)(x + z)(y + z) = x³ + y³ + z³ x³ + y³ + z³ = (x + y + z)³ − 3(x + y)(x + z)(y + z) korzystamy z założenia x + y + z = 0 i mamy x³ + y³ + z³ = 0 − 3 * (−z) * (−y) * (x) = 3xyz.

Wazyl: Saizou dlaczego 0 ma być najmniejszą wartością ³√abc?

ZKS: Dwa razy to samo wpisałem 2 i 3 linijka jest identyczna.

ZKS: Widzę męczysz Wazyl ale bardzo dobrze męczysz.

PW: Pozwolę sobie powiedzieć, że rozwiązanie nie wymaga stosowania twierdzeń o średnich. Jest taki piękny wzorek (x+y+x)³ = x³+y³+z³ + 3(x+y)(x+z)(y+z), który można nazwać jeszcze jednym wzorem skróconego mnożenia. Zastosowanie tego przy założeniu x+y+z=0 daje 0 = (x+y+z)³ = x³+y³+z³ + 3(x+y)(x+z)(y+z), skąd x³+y³+z³ = − 3(x+y+(x+z)(y+z), a ponieważ x+y=−z, x+z = −y i y+z=−x, x³+y³+z³ = − 3(−z)(−y)(−x), o kończy dowód.

Saizou : 0 jest największą wartością ³√abc wynika to z nierówności o średnich xd

Wazyl: ZKS jestem jego prawie rówieśnikiem (2LO) tak się przekomarzam. Oczywiście nie mam żadnego autorytetu żeby go poprawiać Masz jakieś ciekawe zadanko ZKS albo Saizou?

ZKS: Tutaj dobrze pisze Saizou największą wartością ³√abc jest 0.

Marcin: x³+y³+(−x−y )³=3xy(−x−y) x³+y³+(−x³−3x²y−3xy²−y³)=−3x²y−3xy² −3x²y−3xy²=−3x²y−3xy² 0=0 Ja tam wolę nie kombinować

PW: ZKS, byłeś o 5 minut szybszy, nie widziałem Twojego wpisu − strasznie wolno mi idzie pisanie.

ZKS: Wszyscy w prawie jednakowym czasie napisali. Myślałem że Ty jesteś tegorocznym maturzystą miałem nawet napisać jak tam przygotowania do maturki.

Wazyl: Dla a=2, b=−1, c=−1 mamy ³√4>0

ZKS: Wazyl mam dla Ciebie ciekawe zadanko. Chwilka.

PW: Marcin, korzystasz z tezy, nic nie udowodniłeś, będę się upierał, że bez komentarzy taki ciąg przekształceń nie jest poprawnym dowodem. Gdyby teza była fałszywa, to udowodnienie na jej podstawie prawdziwego zdania 0=0 jest poprawnym wywodem, ale nie czyni z tezy prawdy.

Marcin: Ok, rozumiem. Chciałem pomóc, ale nie wyszło

ZKS: Racja bo jak widzę że ktoś wykorzystuje nierówności między średnimi to mi się ubzdurało że x ; y ; z są nieujemne a w treści tylko wiadomo że x + y + z = 0.

ZKS: Wazyl rozwiąż równanie

	252x		99
250x + 2 * 249x + ... + 49 * 22x + 50 * 2x =		+		.
	(2x − 1)2		4

Saizou : ZKS kojarzę to a no faktycznie popsułem zadanie artysty

Wazyl: Nieźle wygląda. Pomyślę. To ze starej maturki?

ZKS: Robiłeś to zadanie Saizou? Jeżeli nie to miłego rozwiązywania życzę.

ZKS: Raczej ze starej matury to nie jest.

Marcin: PW: Tak z ciekawości: Zobacz tutaj, jeżeli możesz: http://www.cke.edu.pl/files/file/Arkusze-2013/Matura-2013/Kryteria-Oceniania/matematyka-PP.pdf Zadanie 28. Drugi sposób rozwiązania. Oni również korzystają z tezy..

zawodus: Ale z odpowiednim komentarzem

Marcin: To jak tutaj przeprowadzić ten 'odpowiedni' komentarz?

ZKS: Wystarczy na końcu napisać "Przeprowadzając ciąg przekształceń równoważnych otrzymaliśmy prawdę zatem prawdziwe jest równanie wyjściowe" albo za każdą linijką pisać znak ⇔.

Wazyl: To musi być jakiś wzór...

ZKS: Na pewno znasz ten wzór.

Wazyl: Próbuję tak:

251x−1		250x−1
	+		+...
2x−1		2x−1

Teraz kolacja. Z pełnym brzuchem się lepiej myśli

ZKS: Dobrze że masz jakiś pomysł o to chodzi.

Wazyl: Dobra moze coś z tego wymodze.

251x−1+250x−1+....+22x−1		252x		99
	−50=		−
2x−1		(2x−1)2		4

Czy to jest prawidłowe przekształcenie czy gdzieś się walnelem?

Wazyl: L=2^51x+2^50x+...2^2x−50

	1−250x
S50=22x*
	1−2x

zombi: Ze wzorów Viete'a to pierwsze też ładnie idzie : )

Wazyl:

−22x+252x−252x		50		101
	−		=
(2x−1)2		2x−1		4

4(−2^2x−50(2^2x−1))−101(2^x−1)²=0 −54*2^2x+50−101*2^2x+202*2^x−101=0 −155*2^2x+202*2^x−51=0 2^x=t ; t>0 −155t²+202t−51=0 delta .. chyba coś nie tak

ZKS: Powiem że √Δ wychodzi ładny.

ZKS: zombi prawda ze wzorami Viete'a ładnie wychodzi.

Wazyl: Ile CiΔ wyszla?

ZKS: Δ = 38416

Wazyl: Zombi wstawilbys tez rozwiazanie wzorami Vieta?

Wazyl: ZKS gdzie mam blad?

ZKS: Z wielomianem to mam coś takiego. Niech x ; y oraz z będą pierwiastkami wielomianu W(u) W(u) = (u − x)(u − y)(u − z) ∧ x + y + z = 0 W(u) = u³ + (xy + xz + yz)u − xyz W(x) = x³ + (xy + xz + yz)x − xyz = 0 W(y) = y³ + (xy + xz + yz)y − xyz = 0 W(z) = z³ + (xy + xz + yz)z − xyz = 0 sumujemy i otrzymujemy x³ + y³ + z³ + (xy + xz + yz)(x + y + z) − 3xyz = 0 x³ + y³ + z³ − 3xyz = 0 x³ + y³ + z³ = 3xyz.

ZKS: Ogólnie gdzieś musiałeś coś zmotać bo współczynnik się nie zgadzają.

Wazyl: Metoda dobra czy tez zamotalem?

ZKS:

	251x − 1		250x − 1
Przy		+		+ ...
	2x − 1		2x − 1

powinno być tak

	250x − 1		249x − 1
2x *		+ 2x *		+ ...
	2x − 1		2x − 1

Wazyl: Ok. Juz widze. Fajne zadanko. Zdradzisz z kad je wziales?

ZKS: Z tego forum.