Wykaż, że liczba 111^4+2*111^2-110*112 jest dzielnikiem liczby 1+111+111^2+111^3 aS :): Wykaż, że liczba 111⁴+2*111²−110*112 jest dzielnikiem liczby 1+111+111²+111³+111⁴+111⁵.

zawodus: pięknie wyłącz przed nawias co się da

zawodus: (1+111)+111²(1+111)+...

Dziadek Mróz: x = 111 (x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1) : (x⁴ + 2x² − 110*112) = 1 trza podzielić i wykazać że = 1

Ewa: Dziadek Mróz mozesz wyliczyc to całe?

Ewa: Dziadek Mróz i czemu ten iloraz ma sie równac 1?

PW: https://matematykaszkolna.pl/forum/248036.html a spróbuj tak.

aS :): hmmm probuje ale nic nie wychodzi

zawodus: a przez mój pomysł nie idzie?

aS :): No niezbyt mógłbyś poprowadzić mnie dalej kierowniku?

aS :): Halo halo pomóżcie ^^

zawodus: kierownik rozwaliło mnie

aS :): ^^

razor: 110*112 = (111−1)(111+1) = 111² − 1

zawodus: na początek pokażemy, że 111²+1=2*111²−110*112 (*) =2*111²−110*112=2*111²−(111−1)*(111+1)= =2*111²−111²+1=111²+1 □ 1+111+111²+111³+111⁴+111⁵= =(1+111)+111²(1+111)+111⁴(1+111)= =112*(1+111²+111⁴)= (*) =112*(11⁴+2*111²−110*112) □

aS :): Eno Pan kierownik umie wytłumaczyć

zawodus: ładny mam głos co nie?

aS :): No pewnie ^^

zawodus: dobra, bo się jeszcze zarumienię

PW: 111⁴ + 2•111² − 110•112 − jeżeli podstawimy x = 111², to mamy x² + 2x − 110•112 Δ = 4 + 4•110•112 = 49284, √Δ= 222

	−2−222		−2+222
x =		= −112 lub x =		= 110,
	2		2

a więc x² + 2x − 110•112 = (x+112)(x−110), dla x = 111 zatem mamy (111²+112)(111²−110) = (111²+1+111)(111²+1−111)= (111²+1)².−111² Suma sześciowyrazowego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie 1 i ilorazie q=111 jest równa

	1−q6		1116−1		(1112)3−1
a1		=		=		=
	1−q		110		110

	(1112−1)(1114+1112+1)		(111−1)(111+1)(1114+1112+1)
=		=		=
	110		110

= 112(111⁴+111²+1) = 112((111²+1)²−111²)

aS :): Dzięki PW za inny sposób

Dziadek Mróz: @Ewa mnie tam wyszło −1