Pierwiastki wielomianu Adam: Witajcie, potrzebuję pomocy z zadaniem z wielomianami. Wykaż, że liczby r₁ i r₂ są pierwiastkami wielomianu W(x). Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu (o ile istnieją), jeśli: W(x) = 2x⁴ − 9x³ + 12x² − 9x + 10; r₁=2, r₂=2,5 Do danego wielomianu za x podstawiłem r₁ oraz r₂ i wyszło w obu przypadkach 0, więc udowodniłem, że są pierwiastkami, jednak moje pytanie jest następujące: W jaki sposób wyznaczyć pozostałe pierwiastki tego wielomianu? Wiem, że akurat w tym przypadku nie istnieją pozostałe (sprawdziłem w odpowiedziach zbioru zadań). Nie wiem jednak w jaki sposób to sprawdzić, czy mógłby ktoś mi pomóc?

Adam: Czy ktoś wie? Czy ktoś potrafi?

ICSP: Jest wiele sposobów : 1. Rozłożenie w(x) znanymi metodami 2. Utworzenie z r₁ i r₂ postaci iloczynowej w celu podzielenia w(x) przez Q(x) = a(x − r₁)(x − r₂) 3. Dzielenie przez dwumiany

Adam: Czyli mogę użyć na przykład schematu Hornera? Napisz mi proszę na tym przykładzie (np. uzywając Hornera, jezeli można) co powinienem zrobić, bym widział dokładnie o co chodzi. Jeśli możesz oczywiście

Marcin: Podziel dwa razy wielomian. będziesz mieć (x−2)(2x−5)(ax²+bx+c) Pewnie że możesz użyć schematu Pana Hornera

Adam: W takim razie używając Hornera − podstawiam ten główny wielomian W(x) = 2x⁴ − 9x³ + 12x² − 9x + 10? I mnożę przez 2 oraz 2,5, tak? Reszta w pierwszym przypadku wyszła mi 80, a w drugim 125? Co to oznacza? Wybaczcie, że upieram się na ten schemat, ale szczerzę mówiąc chciałbym go użyć, ponieważ wydaję mi się najłatwiejszy i wiem, że nie popełnię przy tym błędu.

Łukasz: Adamie, nie polecam tutaj schematu hornera bo mamy wykładnik przy czwartej potędze i liczenie tego w tym przypadku jest bardzo czasochłonne

Mila: W(x) = 2x⁴ − 9x³ + 12x² − 9x + 10 r₁=2 jest pierwiastkiem W(x)⇔W(2)=0 r₂=2,5 jest pierwiastkiem W(x)⇔W(2,5)=0 To sprawdziłeś, więc nie liczymy W(X) jest podzielny przez (x−2) i jest podzielny przez (x−2,5) ⇔jest podzielny przez (x−2)*(x−2,5) Mamy wyznaczyć pozostałe pierwistki chcesz wykorzystać schemat Hornera. 2 −9 12 −9 10 x=2 2 −5 2 −5 0⇔ 2x⁴ − 9x³ + 12x² − 9x + 10=(x−2)*(2x²−5x²+2x−5) Teraz dzielimy p(x)=(2x²−5x²+2x−5) przez (x−2,5) 2 −5 2 −5 x=2,5 2 0 2 0 ⇔2x⁴ − 9x³ + 12x² − 9x + 10=(x−2)*(x−2,5)*(2x²+2) 2x²+2>0 (brak pierwiastków)