powierzchnie zadanie: Rozpoznaj nastepujace powierzchnie a) 2x²−y=z² b) 3x−y²−z²=0 c) 2x²−3y²=0 ogolnie mam podane, ze powierzchnia postaci ax²+by²+cz=d ; c≠0 to (podane znaki to znaki wspolczynnikow przy x² oraz y²) 1) ++ − − to paraboloida eliptyczna 2) + − to paraboloida hiperboliczna ale czy jesli bede miec rownanie postaci ax²+bz²+cy=d; c≠0 to moge przyjac to samo kryterium bo tutaj sa inne zmienne?

MQ: Możesz, bo to będzie tylko powierzchnia odwrócona w układzie wsp.

zadanie: dziekuje

zadanie: i podobnie mam rowniez podane, ze ax²+by=d ; a,b≠0 to jest to wtedy walec paraboliczny a czy jezeli bede miec rownanie postaci ay²+bx=d albo az²+bx=d albo nawet ax²+by+cz=d to czy to kryterium odpowiada?

zadanie: ?

Krzysiek: Przecież od razu powinieneś widzieć co to za bryła: ax²+by=d y=−a/bx²+d/b inne stałe: y=αx²+β więc masz parabolę, 'z' dowolne więc 'rozciągasz' parabolę po całej długości osi 'z' to samo z kolejnymi równaniami.

zadanie: no tak ale my mielismy, ze jest to walec paraboliczny czyli co to jest parabola czy walec paraboliczny?

Krzysiek: http://pl.wikipedia.org/wiki/Walec_paraboliczny y=αx²+β −traktując jako funkcję dwóch zmiennych to parabola , a trzech to właśnie walec paraboliczny

zadanie: dziekuje

zadanie: czyli wracajac do zadania (chodzi o powierzchnie w R³) a) 2x²−y=z² to paraboloida hiperboliczna b) 3x−y²−z²=0 to paraboloida eliptyczna c) 2x²−3y²=0 a to nie wiem co bedzie?

Krzysiek: http://pl.wikipedia.org/wiki/Kwadryka c) przecinające się płaszczyzny.

zadanie: my mielismy podane, ze kwadryka zwiazana z forma kwadratowa φ nazywamy powierzchnie (lub zbior) w R³ zadana wzorem φ(x)=1. gdzie φ(x)=ax²+2bxy+2cxz+dy²+2eyz+fz².

zadanie: 1. Napisz rownanie elipsoidy o srodku w punkcie (−1,2,0) i o polosiach rownoleglych do osi ox,

	1
oy i oz wynoszacych odpowiednio		, 1 i 3.
	2

2. Dane sa punkty A(1,−3,4) i B(3,1,2). Napisz rownanie sfery, ktorej srednica jest odcinek AB.

	x2		y2		z2
3. Wyznacz polosie elipsy powstalej z przekroju elipsoidy		+		+		=1
	12		4		16

plaszczyzna z=2. 4. Wylicz jakie krzywe w przestrzeni zadane sa nastepujacymi ukladami rownan

	x2		z2
a)		−		=1 i x−2=0
	9		4

b) 3x²−y²+5xz=0 i z=0 1.

	(x−x0)2		(y−y0)2		(z−z0)2
ogolne rownanie elipsoidy		+		+		=1
	a2		b2		c2

	1
a=		, b=1, c=3
	2

(x+1)2		(y−2)2		z2
	+		+		=1
14		1		9

2. |AB|=2√6, r=√6 rownanie sfery: x²+y²+z²=6 3. za z wstawiam 2

x2		y2		3
	+		=
12		4		4

x2		y2
	+		=1
9		3

polosie to a=3 oraz b=√3 4.

	z2		5
a)		=−		zbior pusty
	4		9

b) 3x²−y²=0 przecinajace sie plaszczyzny moglbym prosic o sprawdzenie?

zadanie: ?

zadanie: 5. Znaleźć równanie sfery o promieniu r = 3, stycznej do płaszczyzny 2x +2y + z + 3 = 0 w punkcie P = (−3, 1, 1). S− srodek sfery odcinek SP=r=3 jakies podpowiedzi? 6. Dla jakiej wartosci parametru a sfera x²+y²+z²−2az=0 jest styczna do plaszczyzny z−2=0? jest styczna czyli ma dokladnie jeden punkt wspolny x²+y²+4−4a=0 a dalej?

zadanie: ?

zadanie: moge prosic o pomoc?

zadanie: ?

Krzysiek: 2. sprwadź czy punkty A i B należą do tej sfery. 5. wektor SP jest równoległy do wektora normalnego płaszczyzny czyli wektor SP=α[2,2,1] no i |SP|=3 i masz 4 równania i 4 niewiadome. 6. x²+y²+z²−2az=0 x²+y²+(z−a)²=a²

zadanie: 2 no wlasnie punkty te powinny nalezec brakuje srodka sfery wiec bedzie to srodek odcinka AB 3.|SP|=√4k²+4k²+k²=3 / ()² 9k²=9 k²=1 k=−1 lub k=1 SP=[2,2,1] lub SP=[−2,−2,−1] niech S=(a,b,c) P=(−3,1,1) −3−a=2→a=−5 −3−a=−2→a=−1 1−b=2→b=−1 1−b=−2→b=3 1−c=1→c=0 1−c=−1→c=2 6. tutaj mam za z wstawic 2?

Krzysiek: 6. wystarczy zauważyć,że środek sfery to (0,0,a) i parametr wpływa jedynie na 'z' i z treści zadania odległość środka od płaszczyzny ma wynosić 2 i ma być równa 'a' więc |a−2|=a a=1

zadanie: dziekuje

zadanie: Jaka bedzie to powierzchnia (w R³) ?podobno ma wyjsc stozek eliptyczny x²−2yz=0 probowalem rozpisac to tak x²−(y²+2yz+z²)+z²+y²=0 nie wiem czy to dobry pomysl?

Krzysiek: też nie wiem czy to dobry pomysł, ja tam bym skorzystał np. z tych wzorów co są tutaj: http://pl.wikipedia.org/wiki/Kwadryka

zadanie: szczerze mowiac to nie wiem jaki wzor zastosowac

zadanie: a jaki mozna?

Krzysiek: http://pl.wikipedia.org/wiki/Kwadryka#Niezmienniki liczysz wyznaczniki itp i wtedy masz typ. można też przejść na współrzędne biegunowe i czasem lepiej widać co to będzie za bryła.