Oblicz pierwiastki wielomianu a: x¹⁰⁰−2x⁹⁹+x²−4x+4

Hajtowy: x⁹9(x−2)+(x−2)²

Hajtowy: x¹⁰⁰−2x⁹⁹+x²−4x+4 ⇔ x⁹⁹(x−2)+(x−2)²

a: Dziękuję!

PW: (x−2)(x⁹⁹+x−2) Widać, że x₁=2 i x₂ = 1 są pierwiastkami, ale co dalej?

diana7: x⁹⁹+x−2=(x⁹⁹−x⁹⁸)+(x⁹⁸−x⁹⁷)+...+(x²−1)+(x−1)+(x−1)= =x⁹⁸(x−1)+x⁹⁷(x−1)+x⁹⁶(x−1)+...+x(x−1)+2(x−1)= =(x−1)(x⁹⁸+x⁹⁷+...+x+2) Gdy x=1 lub x=0 oczywiście mamy: x⁹⁸+x⁹⁷+...+x+2>0, w przeciwnym wypadku ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego:

	x99−1
x98+x97+...+x+2=(x98+x97+...+x+1)+1=		+1
	x−1

	x99−1
Liczby x99−1 i x−1 są liczbami tego samego znaku, więc		>0 ⇒
	x−1

	x99−1
		+1>0
	x−1

pomocnik: Do zakończenia zadania wystarczy pokazać, że f(x)=x⁹⁹+x−2 ma tylko jeden pierwiastek x=1. f'(x)=99x⁹⁸+1>0 dla każdego x∊R, więc f jest rosnąca (i ciągła), więc może mieć tylko jeden pierwiastek.