s ala: Ile jest całkowitoliczbowych rozwiązań równania x1+x2+x3+x4=10, przy założeniu x1>1, x2>1, x3>3, x4≥0?

pomocnik: coś ok. 10

ala: a jak to można sprytnie rozwiązać?

pomocnik: Najłatwiej wypisać wszystkie możliwości

Mila: x₁+2+x₂+2+x₃+4+x₄=10⇔ x₁+x₂+x₃+x₄=2 Liczba rozwiązań całkowitych nieujemnych:

n+k−1 k−1
	, n=2, k=4

2+4−1 4−1		5 3
	=		=10

PW: (1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) = 10. Strzelamy z wiatrówki w te plusy, które po trafieniu zmieniają się w ")+(". Na przykład (1)+(1+1+1)+(1+1+1+1+1)+(1) = 10 pokazuje jedno z żądanych rozwiązań: 1 + 3 + 5 + 1 = 10 x₁ = 1, x₂ = 3, x₃=5, x₄=1. Widać więc, że wstępne rozwiązanie polega na wskazaniu 2 spośród 9 plusów w pewien specjalny sposób − ponieważ x₃+x₄ ≥ 4, drugi wskazywany plus musi być co najmniej drugim i co najwyżej szóstym spośród dziewięciu plusów. Jeżeli to policzymy, to będziemy dzielili x₃+x₄ (liczbę jedynek po prawej stronie drugiego plusa) na dwa składniki x₃ i x₄ zgodne z warunkami zadania. Nie jest to „sprytny sposób”, nie uczyłem się matematyki dyskretnej.

PW: O, ja tu głupoty podpowiadam (zwłaszcza ze miało być x₁ i x₂ większe od 1), a niezawodna Mila podała gotowy wzór.

ala: A skąd się wzięło w odpowiedzi Mila 2 2 i 4 w równaniu?

Mila: Wyobraź sobie że do 4 komórek wrzucasz kule. Ma być w x₁ więcej niż 1 ma być w x₃ więcej niż 3 Gdy to odejmiesz od 10 , to każde rozwiązanie ≥0 będzie pasowało, gdyż juz tam masz conajmniej 2 a w x₃ conajmniej 4 kule. Nie miałaś na wykładach? .

ala: no właśnie nie, a kompletnie tego nie rozumiem..

Mila: Alu, na jakim jesteś poziomie edukacji ( odeślę Cię najpierw do odpowiednich materiałów).

ala: 1 rok studiów

Mila: Poczytaj może "Matematyka Dyskretna" Jarosław Grytczuk Poszukaj w internecie. Za godzinę mogę Ci obrazowo przybliżyć problem.

ala: będę bardzo wdzięczna w takim razie..

Mila: Rozwiązać równanie x₁+x₂+x₃+x₄=10 w zbiorze liczb całkowitych nieujemnych jest równoważne z problemem na ile sposobów możesz zapisać liczbę 10 w postaci sumy 4 składników np. 2+0+5+3=10 albo 1+2+4+3=10 czyli w drugim przypadku: x₁=1 x₂=2, x₃=4 x₄=3 Można to obrazowo przedstawić, że do pierwszej komórki włożono jedną kulę, do drugiej 2 kule do trzeciej 4 kule do czwartej 3 kule. Kule są nierozróżnialne (identyczne) Liczba wszystkich rozwiązań wyraża się wzorem

n+k−1 k−1
	( to jest teoria wyjaśniona w podanym podręczniku)

Jeżeli masz ograniczenie, jak podano w zadaniu, to aby zostały spełnione warunki zadania na początku wrzycamy do pierwszej komórki 2 kule, do drugiej 2 kule, do trzeciej 4 kule, zostają nam dwie kule do rozłożenia i możesz to zrobić na piechotę, albo skorzystac z wzoru (1) teraz masz równanie: y₁+y₂+y₃+y₄=2

2+4−1 4−1
	=10

I masz dwie kule dołożone na 10 sposobów, przy czyym na pewno w pierwszej komórce masz więcej kul niż 1, w drugie wiecej kul niz 1, w trzeciej też więcekul niż 3, a w czwartej 0 jeśli dwie rozłożono do pierwszej drugie lub trzeciej komorki. (2) II sposób , zamiast korzystać z wzoru: możesz obliczyć tak: 2 kule do 4 komórek możesz rozłożyć

	4!
(1,1,0,0) na		=6 sposobów
	2!*2!

albo tak :

	4!
(2,0,0,0) na		=4 sposoby
	3!

razem 6+4=10

ala: Dziekuje ślicznie, teraz rozumiem

Mila: