Liga Wazyl: Małe zadanko z ligii. Wykaż, że jeśli funkcja f: R → R jest nieparzysta i okresowa o okresie s≠0 , to dla każdego k∊C

	1
liczba x=		ks jest jej miejscem zerowym.
	2

Wazyl: Podbijam

fx: Na początek − przypadek szczególny. Czy potrafisz wskazać funkcję nieparzystą i okresową, dla której kolejne miejsca zerowe to np. stanowią połowę kolejnych całkowitych wielokrotności okresu? Przyjrzenie się dwóm takim funkcjom powinno Tobie rozjaśnić perspektywę.

zombi: Te warunki spełnia funkcja sinus, jeśli to pomoże w co wątpię. Rozwiązanie myślę, że może wyglądać mniej więcej tak.

	s
1. Pokaż, że f(		) = 0 (dla k=1)
	2

Co jest prostą sprawą, gdyś z warunków zadania mamy: −f(x) = f(−x) f(x) = f(x+s)

	s
Kładąc x=		, mamy:
	2

	s		s
−f(		) = f(−		)
	2		2

	s		s
f(		) = f(		+s)
	2		2

Dodając mamy

	s		3s		s		s
f(−		) + f(		) = 0 ⇒ 2*f(		) = 0 ⇒ f(		) = 0
	2		2		2		2

2. Zapewne przez indukcję

	ks		(k+1)s
Niech f(		) = 0, pokazać, że f(		) = 0. Można spokojnie stosować, gdyż, jak
	2		2

dojdziemy, że to jest prawdą to analogicznie dla C₋, ponieważ f jest nieparzysta. Ale nie umiem tego pokazać indukcyjnie.