Wykaż z definicji Kasia: Wykaż z definicji że funkcja f(x)=^x_x−1 jest malejąca w zbiorze 1,+∞ Nie mogłam sobie z tym poradzić.

Kasia: Rozbijam wzór ^x_x−1= ^x−1+1_x−1=1+¹_x−1 Dalej nie wiem co zrobić.

Godzio: Musisz pokazać, że: f(x₁) − f(x₂) < 0 dla 1 < x₁ < x₂

PW: I już widać − im większa x ze zbioru (1,∞), tym ułamek mniejszy − funkcja jest malejąca. Tak można powiedzieć na lekcji i wystarczy. Wyliczyć "naukowo" można biorąc x₂ > x₁ >1 i badając iloraz

	1   x2−1		x1−1
		=		< 1
	1   x1−1		x2−1

Iloraz dwóch liczb dodatnich jest mniejszy od 1 ⇔ licznik mniejszy od mianownika. Pokazaliśmy, że dla x₂>x₁>1 prawdziwa jest nierówność

	1		1
		<		,
	x2−1		x1−1

zatem

	1		1
1 +		< 1 +		,
	x2−1		x1−1

co oznacza że funkcja jest malejąca.

PW: Godzio też dobrze podpowiada, zgodnie z definicją funkcji malejącej należy wykazać, że f(x₂) < f(x₁) dla x₂>x₁>1, ale skorzystałem z równoważnej możliwości badania ilorazu − tak było łatwiej.