Wielomian, wyznaczenie parametru m kewn: Dany jest wielomian: W(x) = x⁴ + mx² + m² − m. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których ten wielomian nie ma pierwiastków. Tworze zmienna pomocniczą t=x² i t≥0, Zakładam że Δ<0 Ale nie mam pojęcia dlaczego trzeba założyć że: Δ > 0 t₁ + t₂ < 0 t₁*t₂ > 0 Proszę o wytłumaczenie.

Tadeusz: bo skoro podstawiasz t=x² ... to z zastrzeżeniem t≥0 Dla t<0 masz sprzeczność

kewn: z wzorów vieta. Dlaczego t1*t2> 0 a t1+t2 <0

J: W tym zadaniu te założenia są niepotrzebne... Jedyny warunek: Δ < 0

ja: Ponieważ obydwa t muszą być ujemne! np x²=−4 x²=−3

ja: Ależ są ponieważ może być Δ>0 i t₁<0 i t₂<0 też brak pierwiastków.

J: Zgoda...

kewn: Czyli, wyniki me(0, 4/3) i me(−∞,0)u(1,+∞) me(1,4/3) a z alternatywy dla Δ<0 me(−∞,0)u(4/3,+∞) A ostateczny wynik me(−∞,0)u(1,+∞) \{4/3} Dobrze policzyłem ? pozdrawiam

PW:

	4
Δ = m2 − 4(m2−m) = −3m2 + 4m = − 3m(m−		).
	3

Δ może być zarówno ujemna, jak i równa 0 czy dodatnia. Jeżeli jest ujemna, to wniosek jest oczywisty − nie ma t = x² będących pierwiastkami, czyli nie ma x będących pierwiastkami. Jeżeli Δ = 0, to jest jeden pierwiastek t₀, wielomian ma postać (t − t₀)² = (x² − t₀)² Należy zadbać, by t₀ < 0 (wtedy wielomian nie ma pierwiastków). Sprawdzamy to bezpośrednio: − dla m=0 wielomian ma postać W(x) = x⁴ − jest pierwiastek (poczwórny) x₀ = 0;

	4
− dla m =		wielomian ma postać
	3

	4		4		2
W(x) = x4 +		x2 +		= (x2 +		)2,
	3		9		3

czyli nie ma pierwiastków.

	4
O tym Koledzy zapomnieli − dla m = 0 wielomian ma pierwiastek, a dla m =
	3

wielomian nie ma pierwiastków − trzeba było to sprawdzić, a widzę tylko dyskusję dla Δ<0 lub Δ>0.

pigor: ... dany jest wielomian: W(x)= x⁴+mx²+m²−m. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których ten wielomian nie ma pierwiastków. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ..., otóż W(x)= x⁴+2x²*¹₂m+¹₄m²+³₄m²−m= = (x²+¹₂m)²+³₄m²−m nie ma pierwiastków ⇔ ⇔ ³₄m²−m >0 v (³₄m²−m =0 i ¹₂m >0) ⇔ ⇔ ³₄m(m−⁴₃) >0 v (m(m−⁴₃)=0 i m>0) ⇔ ⇔ (m< 0 v m>⁴₃) v m=⁴₃ ⇔ m∊(−∞;0) U <⁴₃;+∞) . ...