Liczby doskonałe II rodzaju ZosiaZamoyska: Wymienicie wszystkie liczby doskonałe II rodzaju? Bo pierwszego to 6, 28, 496, 8128, 33550336... Chodzi mi o liczby ≤1000000 Ad. Liczby doskonałe II rodzaju to takie, których iloczyn dzielników jest jej równy..

PW: Zosiu, znowu chcesz osiągnąć rozwiązanie problemu informatycznego na zasadzie "wzoru". Programista nie szuka wzoru, lecz pisze program. Gdyby był znany wzór, to po co stawiać problem informatykowi? Wklepie wzór do prościutkiego programu i po zabawie.

ZosiaZamoyska: nieeee, potrxebuję wymienionych liczb doskonałych II stopnia

Draghan: Zosiu, skoro potrzebujesz takich liczb, to dlaczego nie napiszesz sobie odpowiedniego programu do tego zadania? W Internecie znajdziesz nawet potrzebne źródła, jeśli nie jesteś w stanie sama tego napisać Ale myślę, że zdolna dziewczyna z Ciebie i nie sprawi Ci to trudności

Trivial: Takich liczb jest 209 891. Mamy wszystkie wypisywać?

zawodus: To ja zacznę 6,8,10

Trivial: Po obiedzie poszukam szybkiego sposobu znajdowania wszystkich liczb doskonałych.

Trivial: Wychodzi na to, że są tylko dwa typy liczb doskonałych drugiego rodzaju. (1) N = p³ p − dowolna liczba pierwsza. (2) N = p₁p₂ p₁,p₂ − dwie różne liczby pierwsze Jeżeli kogoś interesuje dlaczego to mogę przedstawić dowód. W każdym razie daje to szybki sposób sprawdzenia czy dana liczba jest doskonała. Wystarczy znaleźć pierwsze dwa najmniejsze dzielniki naturalne d₁, d₂ (bez jedynki) i sprawdzić czy zachodzi d₁d₂ = N. W wypadku nieistnienia dwóch dzielników (bez jedynki) liczba N nie jest doskonała. Chcąc znaleźć wszystkie liczby doskonałe na raz, na pewno szybszy okaże się sposób obliczenia bezpośrednio z dwóch powyższych własności: Dosk = { p³ : p ∊ P } ∪ { p₁*p₂ : p₁,p₂ ∊ P, p₁ < p₂ }. Tutaj program, który liczy ile jest takich liczb ≤ 1 000 000 obliczając je po kolei: http://ideone.com/htJGkZ

Draghan: Ja prosiłbym o dowód Chociaż pewnie niewiele z niego pojmę, ale kto wie? I ode mnie Dobra robota

zawodus: Dowód się robi na palcach dosłownie

Trivial: Niech liczba N ma dzielniki d₁,d₂,...,d_k. Wtedy iloczyn dzielników wynosi: P = d₁d₂...d_k

	N
Jeżeli liczba d jest dzielnikiem liczby N, to liczba		również jest dzielnikiem liczby N.
	d

Nasz iloczyn można zapisać w innej formie:

	N	N		N
P =			...
	d1	d2		dk

Mnożąc oba równania otrzymujemy: P² = N^k (1) P = N^k/2 Liczby doskonałe drugiego rodzaju to takie, dla których

	P
		= N
	N

(2) P = N² Przez N dzielimy po to, aby usunąć ostatni dzielnik, czyli samo N. Porównując równania (1) i (2) otrzymujemy warunek: N² = N^k/2 2 = ¹₂k k = 4 Dowiedzieliśmy się zatem, że liczby doskonałe drugiego rodzaju mają 4 dzielniki i jest to warunek wystarczający, aby liczba była doskonała. Wystarczy rozłożyć liczbę N na czynniki pierwsze i sprawdzić czy dzielników jest 4. N = p₁^c₁p₂^c₂p₃^c₃...p_m^c_m, c_s ≥ 1, p_r − parami różne (c₁+1)(c₂+1)(c₃+1)...(c_m+1) = 4 ← liczba dzielników Ponieważ c_s ≥ 1, to możemy mieć co najwyżej dwie różne liczby pierwsze w rozkładzie. Zatem mamy tylko dwa przypadki. (1) N = p₁^c₁ c₁+1 = 4 c₁ = 3 (2) N = p₁^c₁p₂^c₂ (c₁+1)(c₂+1) = 4 (c₁,c₂) = (1,1) Podsumowując: (1) N = p³ (2) N = p₁p₂ p₁ ≠ p₂.

Trivial: Na początku miałem trochę inny dowód, ale nie był tak klarowny.

zawodus: Ja nie lubię formalnych dowodów

Trivial: A co innego pozostaje w takim zadanku?

zawodus: Wymyśleć tezę i "wierzyć", że jest prawdziwa

Trivial: Trochę słabe, ale jeśli dobrze zgadujesz to zadziała.

Draghan: Dziękuję, Trivial

Trivial: A udało się zrozumieć?

Draghan: Jaśniej chyba nie mogłeś napisać

ZosiaZamoyska: Dziękuję, potem znalazłam, że tych liczb jest duuuuuuuuuuuużoooo... Bo myślałam, że to jest tak jak z tymi I stopnia, jest ich po prostu kilka... Dzięki