Kuba: lim n→∞ (1-5/n)⁴n = lim n→∞(1-1/n²)ⁿ = lim n→∞(3n+1/2n-1)ⁿ = i musi my wynik wyjść w (e) bardzo proszę o pomoc.. nieorzumiem nawet zasady przekształcania takich wzorów proszę o obl i wyjasnienie.

Kuba: pierwszy wyraz jest do potęgi "⁴ⁿ"

Marcin: (1-5/n)⁴ⁿ=(1-1/(n/5))^{(n/5)*(5/n)*4n)}=e^(5/n)*4n=e^5/4

Kuba: a mógłbyś Marcinie wytłummczyc na jakiej zasadzie to się liczy

Marcin: lim n→∞ (1+1/n)ⁿ = e taki jest wzór

Marcin: wiec musisz w nawiasie dojść do postaci (1+1/(coś z n))

Kuba: ahi no ale np skad to n/5 dlaczego tak?

Marcin: (1-5/n) = (1-1/(n/5)) jasne ?

Marcin: żeby to było dalej równe

Marcin: 5/n = 1/(n/5)

Kuba: tak dziekuje u mniena lekcji pani cos mowiła zeby mianownik robic taki sam jaki wykładnik potęgi i jakoś sprowadzała.. czy jest taka metoda? pomogłbys mi w nastepnych przykładach

Marcin: (1-1/n²)ⁿ = (1-1/n²)^{n2* (1/n2) *n} = e^n/n2 = (n→∞) = e⁰ =1

Marcin: poprawka jeśli lim n→∞ (1-1/n)ⁿ = e^-1 taki jest wzór

Marcin: czyli w pierwszym wyjdzie e^-5/4 a w drugim e^-0=1

Kuba: oo dziekuje a powied zmi na jakiej zasadzie uprosciły sie te potegi w pierwszym przykładzie

Marcin: [(3n+1)/(2n-1)]ⁿ = [(2n-1+n+2)/(2n-1)]ⁿ = [(2n-1)/(2n-1) + (n+2)/(2n-1)]ⁿ = = [1+ (n+2)/(2n-1)]ⁿ = [1+ 1/[(2n-1)/(n+2)]]^{(2n-1)/(n+2) * (n+2)/(2n-1) *n} = = (n→∞) = e^{(n+2)/(2n-1) *n} = e^{(n2+2n)/(2n-1)} = e^∞ = ∞

Marcin: musiałeś podnieść do n/5 bo tyle wyszło w mianowniku później musiałeś pomnożyć przez 5/n aby to dalej było to samo wyrażenie i jeszcze razy 4n bo tyle było przedtem

Kuba: oki to rozumiem ale nie pasuje mi jak upraszczam. hmmm 5/n*n/5*4n n sie skróci 5 sie skroci i zostanie samo 4n.. hmm chyba ze zle to pojmuje..

Marcin: nie bo (1+1/coś z n) ^{całego mianownika} daje e

Marcin: więc w potędze e zostaje 5/n * 4n

Marcin: oczywiście z minusem jak już było w powiedziane w poprawce

Kuba: hmmm nie pojmuję:(

Marcin: (1+1/n²)ⁿ² = e (1+ 1/2n)²ⁿ=e (1+1/{(n+1)/(n+2)])^(n+1)/(n+2) = e czy to jasne

Kuba: tak to rozumiem. ale nie rozumiem z tego pierwszego przykładu dlaczego wykładnik potęgi przy e równy jest 5/4

Marcin: bo masz (1-1/(n/5))^{(n/5)*(5/n)*4n)} więc cały nawias i potęga n/5 dają e^-1 a zostaje jeszcze w potędze 5/n*4n =5/4 czyli e ^-5/4

Marcin: 5/n*4n =20 czyli e^-20

Kuba: hmm juz mi chyba umysł szwankuje.. jak zapisze 5 przez n i pomnoze to prrzez 4n to wyrazy w liczniku to 4n i 5 wiec dlaczego to 4 wedruje do mianownika? hmmm

Kuba: no wiec teraz pasuje ale wczesniej w wynikach pisałes 5/4 ze wyszło czyli 1 i jedna czwarta

Marcin: już poprawiłem

Kuba: no dziekuje bo to dzielenie mnie zmyliło czyli wychodzi na to ze w piczniku otrzymuje jeden tam gdzie nawias a mianownik po przekształceniu umieszczamjako potęgę wyrazy które sie redukują tworzą nam "e" a reszta to potęga tego"e" tak to mam rozumiec

Marcin: spróbuj zrobić sam drugie to sprawdzisz czy już umiesz

Kuba: (1-1/n²)=(1-1/n²)² *1/n²*n =(1-1/n²)² =e zatem (1-1/n²)² *1/n²*n= eⁿ/n² tak?

Kuba: tam gdzie są same dwójki miało byc n do 2 sory rozumiem już ogormne dzięki

Marci: brakuje ci przy pierwszej potędze n² ale zapisane poźniej masz dobrze i jeszcze jedno (1-1/n)ⁿ to e^-1 czyli będzie e ^-n/n2 a to się równa przy ( n →∞) e^-0 =1

Kuba: dziękuję pięknie za pomoc

yuhuska: ja nie wiem dlaczego (n/n+1)ⁿ=(n+1/n+1)+(-1/n+1)ⁿ bardzo prosze o pomoc a i mam jeszcze jeden problem dotyczy mojego przykładu powyżej z tego wychodzi ((1+(-1/n+1))ⁿ+1/-1 a według wyjaśnień które tu znalazłam powinno być przecież do potęgi tylko n+1 bez podziału przez -1 niewiem o co chodzi proszę o pomoc