Okrąg z wpisanym trojkątem Kamil: Dany jest okrąg, którego środek ma współrzędne będące liczbami niewymiernymi. Udowodnij, że nie można w ten okrąg wpisać trójkąta, którego wszystkie wierzchołki mają obie współrzędne będące liczbami wymiernymi

PW: Pokazać, że jeśli trzy wierzchołki mają współrzędne wymierne, to środek okręgu opisanego na trójkącie też ma obie współrzędne wymierne (dowód przez zaprzeczenie). Po prostu napisać równania dwóch symetralnych boków i zauważyć, że współczynniki będą wymierne, a więc i rozwiązanie układu równań też.

Kamil: jak napisać rownanie symetralnych bokow ?

PW: Ja wiem, że tu nic nie ma − żadnych danych − ale nikt nie broni wprowadzić swoich oznaczeń. Niech A = (a₁,a₂), B = (b₁,b₂), C = (c₁,c₂). Teraz napiszesz?

Kamil: własnie mam problem, bo nie wiem jak to zrobic

PW: A umiesz napisać równanie prostej prostopadłej do wektora [K,L]?

Kamil: rownanie porstej prostopadlej no to wspoczynniki kierunkowe tych prostych a*a1=−1

PW: Nie o to idzie, byłoby zbyt kłopotliwe rachunkowo. Czy wiesz, co oznaczają współczynniki K i L w równaniu ogólnym prostej Kx + Ly + M = 0 ?

Kamil: no to sa wspolczynniki liczbowe A,B nie moze byc rowne zero

Kamil: Zwykłe rownanie prostej liniowej

Kamil: A no i wektor AB i jest porsta prosotdla do tej prostej

PW: No pewnie, M wyliczymy bo prosta przechodzi przez środek odcinka − boku trójkąta. W gruncie rzezy idzie o to, że wszystkie współczynniki są wymierne, nie przejmujemy się, że dość skomplikowane to − można wprowadzić jakieś "skrótowe" symbole. Po napisaniu pierwszej symetralnej drugiej już można nie pisać, stwierdzić że też będzie to prosta o wymiernych współczynnikach i skrótowo je jakoś oznaczyć.

Kamil: np. Liczymy prota AB jej wspolczynniki potem piszemy warunek na prosopadlosc i srodek boku AB i mamy wspolzedne symetralnej, a moglbys wyltumaczyc tak skortowo swoj sposob ?

PW: Cały czas tłumaczę, i to nie skrótowo. (b₁−a₁)x + (b₂−a₂)y + M = 0. Tak jak rozumiesz − podstawiamy do tego równania współrzędne środka odcinka AB

	a1+b1		a2+b2
(		,		)
	2		2

i uzyskamy M (jakieś paskudztwo, nie chce mi się tego liczyć), po czym stwierdzamy, że równanie ma postać (1) K₁x + L₁y + M₁ = 0, przy czym wszystkie współczynniki są liczbami wymiernymi. Przez analogię możemy stwierdzić, że równanie drugiej symetralnej ma postać (2) K₂x + L₂y + M₂ = 0, współczynniki też będą wymierne. Rozwiązanie układu równań (1) i (2) daje współrzędne środka okręgu opisanego − będą to liczby wymierne (dlaczego − napisz sam, nie trzeba tego rozwiązywać).

Kamil: Dziekuję Ci bardzo, przperaszam za nieogarniecie

PW: To ładne zadanie, ale dla ucznia nieco trudne z uwagi właśnie na brak danych i konieczność samodzielnego wprowadzenia oznaczeń, a zwłaszcza z powodu tego, że "nic tu nie wychodzi" − nie otrzymujemy żadnego "wyniku", który można sprawdzić.

Kamil: Tym bardziej dziękuję