Środkowe trójkąta querth: 1. Środkowe trójkąta poprowadzone do boków długości 12 i 16 są prostopadłe. Oblicz długość trzeciego boku tego trójkąta. 2. Środkowe trójkąta prostokątnego poprowadzone z wierzchołków kątów ostrych są równe 2√10 i 5. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta. 3. Wysokość trójkąta prostokątnego opuszczona na przeciwprostokątną jest równa 3 a długość środkowej poprowadzonej do przeciwprostokątnej wynosi 5. Oblicz długości boków tego trójkąta. 4. W trójkącie prostokątnym poprowadzono dwusieczną jednego z kątów ostrych. Podzieliła ona przeciwległy bok na odcinki równe 3 i 5. Wyznacz długości boków tego trójkąta.

Hajtowy: Zapytam wprost... zrobisz coś sam czy chcesz gotowca?

querth: mam zestaw do zrobienia na kilkanaście zadań i tylko tych nie rozumiem

PW: Zadanie 4. Najtrudniejsze w tym zadaniu jest nie ulec sugestii, który odcinek ma długość 3, a który 5 (ten o początku w wierzchołku kąta prostego, czy ten drugi). Postarajmy się rozwiązać nie decydując.

	α
32 = a2+d2 − 2adcos
	2

	α
52 = c2 + d2 − 2cdcos
	2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	α
(1) 52−32 = c2−a2 − 2(c−a)dcos		.
	2

	a
(2)		= cosα
	c

	a		α		a
(3)		= cos		⇔ d =		.
	d		2		α   cos   2

Podstawienie (3) i (2) do (1) daje 16 = c² − (ccosα)² − 2 (c−ccosα)ccosα 16 = c² − c²cos²α − 2c²cosα + 2c²cos²α 16 = c²(1 + cos²α − 2cosα) 16 = c²(1− cosα)² 4 = c(1 − cosα)

	4
1 − cosα =
	c

	4
cosα = 1−
	c

	c−4
(4) cosα =		.
	c

Porównanie (4) i (2) daje c − 4 = a. Mamy więc trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej c i przyprostokątnych c−4 oraz 8. Z twierdzenia Pitagorasa c² = (c−4)² + 8² c² = c² − 8c +16 + 64 c = 10. Odpowiedź: Boki trójkąta mają długości a=10−4 = 6, b = 8, c =10. Odpowiedni rysunek zrób sam i domyśl się skąd (1) i (2).