calki zadanie:

	5x2−12
obliczyc calke ∫		dx
	(x2−6x+13)2

moge rozlozyc na ulamki proste?

5x2−12		Ax+B		Cx+D
	=		+
(x2−6x+13)2		x2−6x+13		(x2−6x+13)2

dobrze?

zadanie: ?

Krzysiek: ok

zadanie: nie chce mi to wyjsc a jak przedstawie mianownik w postaci kanonicznej czyli x²−6x+13=(x−3)²+4

	5x2−12
∫		dx= i co dalej?
	((x−3)2+4)2

zadanie: ?

Krzysiek: na ułamki proste: 5x²−12=(Ax+B)(x²−6x+13)+Cx+D A=0 B=5 C=30 D=−77

	5
i mamy ∫		dx
	x2−6x+13

i aby policzyć tą całkę to korzystasz z funkcji arctg a druga całka:

	30x−77		2x−6		dx
∫		dx=15∫		dx+17∫		=I1+I2
	(x2−6x+13)2		(x2−6x+13)2		(x2−6x+13)2

I₁ przez podstawienie a I₂ przez części

Rafał28:

5x2 − 12		x2 − 12/5
	= 5		=
(x2−6x+13)2		(x2−6x+13)2

	x2 −6x +13 + 6x − 77/5		5		30x − 77
= 5		=		+		=
	(x2−6x+13)2		x2−6x+13		(x2−6x+13)2

	5		2x − 6		13
=		+ 15		+
	x2−6x+13		(x2−6x+13)2		(x2−6x+13)2

Pierwsza jest oczywista. W drugiej: t = x²−6x+13 dt = (2x − 6)dx W trzeciej:

	13dx		13dx		1		13dx
∫		= ∫		=		* ∫
	(x2−6x+13)2		((x−3)2 + 4)2		16		(((x−3)/2)2 + 1)2

	x−3
t =
	2

i ze wzoru na

	dx		1		x		2n−3		dx
∫		=		*		+		∫
	(x2+1)n		2n−2		(x2+1)n−1		2n−2		(x2+1)n−1

Mila: [x−3=2t, dx=2dt, x=2t+3]

	5*(2t+3)2−12
2∫		dt=
	(4t2+4)2

	20t2+60t+33
=2∫		dt=
	16(t2+1)2

	20*(t2+1)+60t+13
=∫		dt=
	8*(t2+1)2

	20		60t+13
=∫		dt+∫		dt=
	8*(t2+1)		8*(t2+1)2

Pierwsza z wzoru , nad drugą trzeba popracować.

zadanie: dziekuje

zadanie:

	1
a ta druga tak jak wczesniej bylo mowione mozna ze wzoru na ∫		dx a czy mozna
	(x2+1)n

jeszcze inaczej?

ZKS: Przykładowo możesz tak rozwiązać całkę

	dx
∫		= | tg(u) = x ⇒ [tg2(u) + 1]du = dx | =
	(x2 + 1)2

tg2(u) + 1		du
	du = ∫		=
[tg2(u) + 1]2		tg2(u) + 1

	1		1
∫ cos2(u)du = ∫		cos(2u)du + ∫		du =
	2		2

1		1		x		1
	sin(2u) +		u + C =		+		arctg(x) + C
4		2		2(x2 + 1)		2

Mila:

	dx
1) Można do całki ∫		zastosować podstawienie x=tg(t), dx=(tg2x+1) dt
	(x2+1)2

Trzeba znać przekształcenia z arcusami. 2) Można korzystać z wzoru:

	dx		1		1		x
∫		=		arctgx+		*		+C
	(x2+1)2		2		2		(x2+1)

Kończę poprzednim sposobem [ będę korzystac z wzoru z pkt. (2) ]

	30*2		13
∫		dt+∫		dt= J1+J2
	8*(t2+1)2		8*(t2+1)2

30*2

30

1

15

−15

1

J1=∫

dt=

∫

du=

*(−1)*u−1=

*

=

8*(t2+1)2

8

u2

4

4

t2+1

	−15		1		−15		4		−15
=		*		=		*		=
	4		x−3   ( )2+1   2		4		x2−6x+13		x2−6x+13

[t²+1=u, 2tdt=du]

	13		1		13		1		t
J2=		∫		=		*[		arctgt+		]=
	8		(t2+1)2		8		2		2(t2+1)

	13		x−3		x−3   2
=		[arctg		+		]=
	16		2		x−3   ( )2+1   2

	13		x−3		13		2(x−3)
=		arctg(		)+		*		=
	16		2		16		x2−6x+13

	13		x−3		13x−39)
=		arctg(		)+		=
	16		2		8*(x2−6x+13)

Całka=

20		x−3		13		x−3		13x−39)		−15
	arctg(		)+		arctg(		)+		+		=
8		2		16		2		8*(x2−6x+13)		x2−6x+13

	53		x−3		13x−39−120
=		arctg(		)+		+C=
	16		2		8*(x2−6x+13)

	53		x−3		13x−159
=		arctg(		)+		+C
	16		2		8*(x2−6x+13)

mam nadzieję, że wszystko z kartki dobrze przepisałam.

zadanie: dziekuje