maturalne abc: Czy ma ktos pomysl na to zadanie? Dane są liczby wymierne a ⁄= 0 i b takie, że równanie ax³ + bx² + cx + d = 0 ma dwa pierwiastki wymierne. Wykaż, że c i d są liczbami wymiernymi

Piotr 10: Wzory Viete'a 3 stopnia.

abc: ok dzieki, wiem ze w tablicach matematycznych je znajde, ale na maturze nie bede mial ich w tablicy, nie ma innego sposobu?

Piotr 10: To są wzory praktycznie analogicznie jak do wielomianu stopnia drugiego. No na pewno jakiś jest, ale ja go nie widzę

razor: możesz je sobie wyprowadzić na szybko − to nie jest trudne ax³ + bx² + cx + d = a(x−x₁)(x−x₂)(x−x₃) wymnażasz i liczysz

PW: Założenie "równanie ma dwa pierwiastki wymierne" oznacza, że równanie ma postać a(x−x₁)²(x−x₂) = 0, przy czym x₁ i x₂ są liczbami wymiernymi.

żądny wiedzy: nic nie rozumiem, ale dzieki

PW: Wielomian rozkłada się na czynniki, z których każdy: − ma postać (x−x_k), gdzie x_k oznacza pierwiastek (miejsce zerowe) wielomianu, albo (x²+mx+n), który jest nierozkładalnym trójmianem. Wielomian trzeciego stopnia może więc rozłożyć się jako: a(x−x₁)(x−x₂)(x−x₃) (trzy różne pierwiastki) a(x−x₁)(x²+mx+n) (jeden pierwiastek) a(x−x₁)²(x−x₂) (dwa pierwiastki, w tym jeden podwójny) W zadaniu powiedzieli, że równanie ma dwa pierwiastki (nie trzy i nie jeden), a więc musi się rozkładać na trzeci z podanych sposobów.