Wyrazy ciągu geometrycznego hania: Wyrazy ciągu geometrycznego (a₁,a₂,a₃) są pierwiastkami wielomianu W(x)=x³+bx²−6x+8 a) Oblicz b b) Wyznacz ten ciąg

ZKS: a₁a₂a₃ = −8 ⇒ a₂³ = −8 ⇒ a₂ = −2 a₂² = a₁a₃ a₁ + a₂ + a₃ = −b ⇒ a₁ + a₃ = 2 − b a₁a₂ + a₁a₃ + a₂a₃ = −6 −2a₁ + 4 − 2a₃ = −6 ⇒ a₁ + a₃ = 5 2 − b = 5 ⇒ b = −3 W(x) = x³ − 3x² − 6x + 8 x³ + 8 − 3x² − 6x = 0 (x + 2)(x² − 2x + 4) − 3x(x + 2) = 0 (x + 2)(x² − 5x + 4) = 0 (x + 2)(x² − x − 4x + 4) = 0 (x + 2)[x(x − 1) − 4(x − 1)] = 0 (x + 2)(x − 1)(x − 4) = 0 Zatem Twój ciąg to a₁ = 1 ∧ a₂ = −2 ∧ a₃ = 4.

hania: dlaczego −8?

ZKS: Wyprowadzam wzory Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia o pierwiastkach a₁ ; a₂ i a₃ dla a ≠ 0 i postaci ogólnej ax³ + bx² + cx + d. a(x − a₁)(x − a₂)(x − a₃) = ax³ − a(a₁ + a₂ + a₃)x² + a(a₁a₂ + a₁a₃ + a₂a₃)x − a * a₁a₂a₃ Teraz porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach mamy

	b
−a(a1 + a2 + a3) = b ⇒ a1 + a2 + a3 = −
	a

	c
a(a1a2 + a1a3 + a2a3) = c ⇒ a1a2 + a1a3 + a2a3 =
	a

	d
−a * a1a2a3 = d ⇒ a1a2a3 = −
	a

Teraz już chyba wszystko wiadomo?

hania: tak, dziękuję

zawodus: Można też liczyć jako W(a)=0 W(aq)=0 W(aq²)=0