jerey: obliczyc najmniejszą wartosc sumy czwartych potęg pierwiastków równania x²−x+m−2=0 z parametrem m. x₁⁴+x₂⁴=(x₁²+x₂²)²−2x₁²x₂²=[(x₁+x₂)²−2x₁x₂]²−2(x₁x₂)² x₁+x₂=1 x₁x₂=m−2 podstawiam ; [(1)²−2(m−2)]²−2(m−2)² ⇒ 2m²−12m+17 minimum w wierzchołku bo ramiona są skierowane ku górze f min = 3 teraz musze rozpatrzec jeszcze dla jakich m'ów rownanie ma rozwiązanie. załozyłem ze Δ>0 W odpowiedziach mam ,ze warunek jaki musi być spełniony to Δ≥0 wytłumaczy mi to ktoś?

Piotr 10: Nie ma słowa róźnych a wi ec Δ ≥ 0

jerey: tylko tyle. czyli jezeli bedzie tego typu zadanie bes słowa róznych to zawsze mam zakładac , ze Δ≥0?

PW: jerey, dobrze założyłeś. W odpowiedzi bredzą. Według nich równanie 5(x−7)² = 0 ma dwa pierwiastki, co jest oczywistą brednią (patrz definicja pierwiastka równania). Naprawdę zachęcam do przeczytania i zrozumienia definicji.

Piotr 10: Tak. Jeśli masz , np zadanie, Suma kwadratów pierwiastków równania.... Dwa pierwiastki... itd to Δ ≥ 0

Piotr 10: PW niestety tak ocenia CKE. Pytałem sie pani profesor w szkole i tak kazała pisać.

PW: Piotrze, a dlaczego uwierzyłeś, że równanie (x−7)² = 0 ma dwa pierwiastki? Nie słuchaj co Ci każą myśleć, myśl samodzielnie.

Piotr 10: Ja to rozumiem. Też nie rozumiałem tego wcześniej dlaczego piszemy Δ ≥0. Przecież to paranoja, jeśli maja pierwiastki ( liczba mnoga ) więc Δ > 0. Ale na sprawdzianie miałem odjętę przez to punkty, więc wole napisać Δ ≥ 0 i mięc świety spokój

pomocnik: Z podstawowego (zasadniczego) twierdzenia algebry wynika, że każdy wielomian stopnia n>0 ma n pierwiastków, co świadczy, że liczba pierwiastków zależy także od ich krotności.

Draghan: PW − myślenie to swoją drogą, a punkty na egzaminie − swoją. Ja już wiem, o co chodzi, oczywiście dzięki Tobie. Ale na egzaminie będę konsekwentnie pisał w takim przypadku Δ ≥ 0. Raz już mi zabrakło punktów. Drugi raz powtarzać egzaminu nie zamierzam.

Draghan: pomocnik − zauważ: wielomian. Wielomian jest funkcją. A równanie nie jest funkcją.

Piotr 10: Na pewno?

pomocnik: Ale to się przekłada oczywiście na równania.

PW: Dobrze że się rozumiemy. A Pani Profesor zadaj pytanie: − Ile pierwiastków ma równanie (x−7)² = 0? Jeżeli odpowie, że dwa, to zapytaj: − A ile pierwiastków ma równanie x² = 0? Czy przypadkiem nie usłyszysz, że jeden? Albo:

	π		π
− Ile pierwiastków ma równanie sin2x = 0 dla x∊(−		,		)?. Gwarantuję, że nikt
	2		2

nie powie, że równanie to ma dwa pierwiastki, bo sinus jest podniesiony do kwadratu. Nie wiadomo dlaczego jeżeli zamiast sinusa do kwadratu podnosimy (x−7), to niektórzy zaczynają krzyczeć o dwóch pierwiastkach, ba − obniżają ocenę.

pomocnik: Nie zawsze wszystko w matematyce jest logiczne, choć tak powinno być. Ja jednak skłaniam się ku zasadniczemu twierdzeniu algebry, które jak sądzę krotność pierwiastka zostało wprowadzone, aby je ładnie sformułować.

PW: Czy ktoś wreszcie napisze tu definicję pierwiastka równania? Ostatnio raczej przyjęło się mówić: rozwiązania równania (a to właśnie po to, żeby uniknąć takich nieporozumień).

PW: pomocniku, jak możesz wypowiadać takie zdania: "Nie zawsze wszystko w matematyce jest logiczne". To gdzie ma być? W historii?

Draghan: Ja nie napiszę Na Wikipedię się nie będę powoływał, a w szkole mnie nie nauczyli

jerey: podpisuje sie pod postem Darghana

jerey: Draghan'a*

pomocnik: Definicja pierwiastka nie jest istotna. Tylko (w tym przypadku − wielomianów), czy krotność pierwiastka wlicza się do liczby pierwiastków. W poważnych podręcznikach z matematyki (algebry) tak jest. Niemniej jednak w szkole są inne prawa. Można się spierać, czy 0 jest liczbą naturalną, lub czy funkcja y=2x+1 jest liniowa. Podejrzewam, że problem się wziął od przyszłego maturzysty, a dla niego ważne jest czy mu punktów za to nie obetną, a nie jak to jest naprawdę, przecież nie będzie z egzaminatorem (którego nie pozna) prowadził matematycznych dyskusji.

PW: Draghan, to co właściwie robisz przez cały czas rozwiązując równania? Liczysz coś, czego definicji nie znasz? Idę zrobić coś pożytecznego, na przykład pozmywać gary.

Draghan: Próbuję tak zrobić, żeby L=P. Tak samo, jak nie znam "definicji" dodawania, ale potrafię dodać 2 + 2. Tak samo, jak z metodą drzewek w prawdopodobieństwie. Nie mam pojęcia, jakie prawa i definicje za nim stoją, ale potrafię policzyć P(A). Jaka jest w takim razie definicja pierwiastka równania?

Piotr: próbuje znalezc taka liczbe, ktora sprawdza to rownanie.

zawodus: PW problem był i w najbliższym czasie raczej nie zniknie. Wystarczy wziąć do ręki jeden z popularniejszych podręczników autorstwa Państwa Kurczab, Kłaczkow... I porównać ze zbiorem z1974 roku.

5-latek: Otoz tak Definicja : Rownaniem z jedna niewiadoma nazywamy funkcje zdaniowa F(x) postaci f(x)=g(x) gdzie f(x) i g(x) sa funkcjami w sensie analizy matematycznej Polem (dziedzina rownania jest czesc wspolna pol funkcji f(x) i g(x) Definicja : Pierwiastkiem rownania f(x)=g(x) nazywamy kazda liczbe a nalezaca do pola rownania dla ktorej zachodzi rownosc f(a)=g(a) ROzwiazac rownanie − to znaczy wykazac ze w rozwazanym polu rownanie posiada pierwiastki i podac je wszystkie albo wykazac ze w rozwazanym polu rownanie pierwiastkow nie p[osiada (zbior pierwiastkow jest pusty

Draghan: Dziękuję Ci za wpis Chociaż nadal ma człowiek wątpliwości "i podać je wszystkie" − czy to znaczy, że pierwiastek dwukrotny należy podać dwukrotnie?