Trygonometria/Planimetria muflon: Wykaż, że jeśli między kątami α,β,γ zachodzi związek: cosα=(1−cosγ)/(2cosβ) to trójkąt jest równoramienny. Proszę o propozycję jak najszybszego rozwiązania.

zawodus: trójkąt równoramienny kiedy cosα=cosβ lub analogicznie inne Wiadomo, że α+β+γ=180, czyli α+β=180−γ

zawodus: Pisz czy na coś wpadłeś, jak nie to podam rozwiązanie

muflon: no ja to teoretycznie zrobiłem, ale nie wiem czy okej więc: założenie, że cosβ≠0 i 0st≤α,β,γ≤180 st mnoże obustronnie razy 2cosβ potem, badam sytuacje dla kątów α i β, przy podstawie, γ między ramionami więc α=β γ=180st−2α i wykazuje że L=P Sytuacje, że α i γ lub β i γ są kątami przy podstawie są tożsame, więc badam jedną z nich Nie wychodziło mi, więc spróbowałem obalić to, zbadałem sytuacje dla kąta przy podstawie 30 st i wyszła mi sprzeczność Więc, teoretycznie udowodniłem, ze jeżeli tożsamość jest prawdziwa, to jest to tr równoramienny gdzie α i β to katy przy podstawie. Dobrze myślę?

zawodus: Napisz to algebraicznie to sprawdzę

muflon: if: α=β γ=180−2α 2cos²α=1−cos(180−2α) 2cos²α=1−(−cos2α) 2cos²α= 1+cos²α−sin²α 2cos²α=1+cos²α−1+cos²α 2cos²α=2cos²α L=P

J: OK.

muflon: α=γ,β=γ sytuacje toższame Niech α=γ=30st β=120 st 2cos(120)cos30=1−cos30 −2cos(60)cos30≠1−cos30 sprzeczność bo po lewej liczba ujemna po prawej dodatnia Więc wtedy tożsamość nie może być spełniona dla dowolnych 3 kątów trójkąta równoramiennego Więc jeśli jest spełniona to α=β γ=(180−2α)

J:

	1 − 0.5
W szczególnym przypadku dla równobocznego mamy: 0.5 =		= 0.5
	2*0.5

muflon: Ok, w takim razie mój błąd, a czy da się ten 2 przypadek obalić lub potwierdzić?

J: Nie ma żadnego znaczenia, czy przyjmiesz: α = β , czy α = γ , czy β = γ , bo zawsze jest : α + β + γ = 180

muflon: Ok, wiem, ale czy mój powyższy wywód wystarcza w tym zadaniu?

Bogdan:

	x + y		x − y
Proponuję w ten sposób (korzystam z: cosx + cosy = 2cos		cos		):
	2		2

α + β + γ = 180^o ⇒ γ = 180^o − (α + β), cosγ = cos[180^o − (α + β)] = −cos(α + β)

	1 − cosγ
cosα =		⇒ 2cosα cosβ = 1 − cosγ
	2cosβ

cos(α + β) + cos(α − β) = 1 + cos(α + β) ⇒ cos(α − β) = 1 ⇒ cos(α − β) = cos0 α − β = 0 ⇒ α = β

muflon: dzieki

pigor: ..., wykaż, że jeśli między kątami α,β,γ zachodzi związek: cosα= (1−cosγ)/(2cosβ) to trójkąt jest równoramienny. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− lub np. tak : α+β+γ=180^o ⇒ γ=180^o−(α+β) , zatem cosα= (1−cosγ)/(2cosβ) /* 2cosβ ⇒ 2cosαcosβ= 1− cos(180^o−(α+β)) ⇔ ⇔ 2cosαcosβ= 1+ cos(α+β) ⇔ 2cosαcosβ= 1+ cosαcosβ− sinαcosα ⇔ ⇔ cosαcosβ+ sinαcosα= 1 ⇔ cos(α−β)= 1 ⇒ α−β= 0 ⇔ α= β c.n.w. . ..

muflon: Nieźle pigor

pigor: ... przepraszam powtarzam , zastępując złe cosα przez sinβ w 2−giej linijce od końca , mianowicie : ... ⇔ 2cosαcosβ= 1+ cosαcosβ− sinαsinβ ⇔ cosαcosβ+ sinαsinβ=1 ⇔ ⇔ cos(α−β)= 1 ⇒ α−β= 0 ⇔ α= β c.n.w. . ..