f. kwadratowa czeko : dana jest funkcja f(x) = −4x² +16x , xeR . wykaz na podstawie definicji, że funkcja jest malejąca w zbiorze (2, ∞)

czeko : mam kilka takich przykładów ale nie wiem jak to zrobić

Draghan: Nie mam pojęcia, jak "wykazać na podstawie definicji". Potrafiłbym wskazać, w jakich przedziałach funkcja maleje, czy rośnie − bo to prosta f−cja kwadratowa − liczy się wierzchołek, bazgrze wykres i można odczytać. Ale nie wiem, jak to wygląda "wykazywanie z definicji". Może to poziom studiów, gdzie liczy się granice funkcji i inne ciekawe rzeczy (jeśli tak, to ja odpadam na razie)? Nie wiem. A może to jest tak proste, że aż banalne?

PW: Tak, banalne. Wystarczy przypomnieć definicję − co to znaczy, że funkcja f jest malejąca na zbiorze D − dla dowolnych x₁, x₂∊D x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂). Potocznie − dla dowolnych dwóch argumentów z dziedziny D większemu argumentowi odpowiada mniejsza wartość funkcji. Bierzemy więc dwie dowolne liczby x₁ < x₂ z dziedziny D = (2,∞) i pokazujemy: f(x₁) = − 4x₁² + 16x₁ f(x₂) = − 4x₂² + 16x₂ f(x₁) − f(x₂) = − 4x₁² + 16x₁ + 4x₂² − 16x₂ = 4(x₂²−x₁²) + 16(x₁ − x₂) = 4(x₂−x₁)(x₂+x₁) + 16(x₁−x₂) = 4(x₂−x₁)(x₂+x₁−4) Wykazaliśmy zatem, że dla x₁, x₂∊(2,∞) i x₁ > x₂ prawdziwa jest nierówność f(x₁) − f(x₂) = 4(x₂−x₁)(x₁ + x₂ − 4) > 0, co oznacza że f(x₁)−f(x₂) jest iloczynem dodatnich czynników, zatem f(x₁) > f(x₂), czyli że funkcja f jest malejąca na (2,∞).

PW: Poprawka: w 5. wierszu od dołu powinno być x₁< x₂.