Indukcja matematyczna Gregor: (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+...+(4n−1)=3n² Witam serdecznie, chciałbym was prosić o rozwiązanie i wytłumaczenie tego zadania bo po kilku próbach sam nie jestem w stanie .

ICSP: Chociaż kroki indukcyjne byś napisał

Gregor: jasne zaraz wstawię żeby nie było ze nie próbowałem

Gregor: dla n=1 L=4*1−1=3 P=3*1=3 dla pewnego k (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+...+(4k−1)=3k² dla k+1 (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+...+3k²+{4(k+1)−1}=3(k+1)² I tu własnie zaczynają sie schody ponieważ nie mam pojęcia jak to doprowadzić do L=p

ICSP: a teraz sprawdź dla n = 2

Gregor: L=8−1=7 P=3*4=12 Nie wiem ale równanie sie nie zgadza . Mógłbyś mi wytłumaczyć dlaczego należy też sprawdzać dla n = 2 ?

ICSP: Dla n = 2 równanie również się zgodzi, chodzi o to abyś zauważył co się dzieje z lewą stroną dla pierwszych liczb naturalnych. Wtedy poprawne zapisanie tezy nie bedzie problemem Sama lewa : Dla n = 1 mamy 3 Dla n = 2 mamy 5 + 7 Dla n = 3 mamy 7 + 9 + 11 Czyli dla n + 1 tracimy pierwszą liczbę, ale w zamian dostajemy dwie liczby nieparzyste wieksze od ostatniej 1^o Założenie : dla n = k : (2k + 1) + (2k+3) + ... + (4k − 1) = 3k² // odejmę od obu stron założenia (2k +1) : (2k + 3) + ... (4k −1) = 3k² − (2k + 1) 2^o Teza : (tracimy pierwszą, ale zyskujemy dwie ostatnie) (2k + 3) + ... + (4k − 1) + (4k +1) + (4k + 3) = 3(k+1)² Dowód L = (2k + 3) + ... + (4k − 1) + (4k +1) + (4k + 3) = ...

Gregor: mógłbyś mi powiedzieć co sie dzieje z (2n+5). Oraz jak uzyskać dwie ostatnie ?

ICSP: (2n + 5) tam jest tylko nie chciało mi się go pisać. bo równie dobrze treść zadania mogę napisać tak : (2n+1) + (2n+3) + (2n + 5) + (2n + 7) + (2n + 9) itd aż do (4n − 1) Sumujemy sobie ileś liczb nieparzystych aż dojdziemy do liczby 4n − 1, Jeżeli obydwoje znamy zasadę według której te liczby są sumowane (są to liczby nieparzyste) to mogę pominąć wypisywania zbędnych składników tej sumy. i zamiast pisać (2n + 1) + (2n +3) + (2n + 5) + (2n + 7) + ... + (4n − 1) napisałem (2n + 1) + (2n + 3) + ... + (4n − 1), wyrazy 2n + 5 oraz 2n + 7 jak i 2n + 9 itd znajdują się w tych 3 kropkach. Teraz zagadka z otrzymywaniem liczb nieparzystych Jak mając liczbę nieparzystą dostać kolejną liczbę nieparzystą ?

Gregor: powiększając ja o jeden ? Wybacz ze jestem taki oporny do zrozumienia . Ale jednak nie moge pojąć jeszcze skąd dla n=3 mamy liczby takie jak 7 + 9 + 11 ?

ICSP: pierwsza liczba w sumie : (2n + 1) ostatnia liczba w sumie : (4n − 1) wstaw n = 3 i pamiętaj, że jest to suma kolejnych liczb nieparzystych !

Gregor: Powoli zaczynam wszystko rozumieć . Dlaczego pierwszego założenia n=k tracimy pierwszą a zyskujemy dwie ostnie ?

ICSP: Czyli zagadka typu ile jest liczb nieparzystych pomiędzy 4n − 1 a 4(n+1) − 1 = 4n + 3

Gregor: nie mam pojęcia

ICSP: To podstaw sobie np n = 2, potem n = 3 itd Na początku postaraj się zrozumieć zapis i zauważyć pewne zależności, a jak wiemy takie rzeczy robi się łatwiej na konkretnych liczbach