f. Kwadratowa P@weł: Jaka bedzie liczba rozwiązań układu w zależności od wartoscci parametru m ? : |x²−y² + m(x+y) = x−y+m 1^o <| |x²+y² + x−1 = 0 2^o 1^o x²−y² + m(x+y) = x−y+m (x − y)(x + y) + m(x + y) = x − y + m (x + y)(x − y + m) − (x − y + m) = 0 (x − y + m)(x + y − 1) = 0 y= x+m v y=1−x 2^o Dla y=1−x x²+(1−x)² + x−1 = 0 x² + 1−2x + x² + x−1 = 0 2x² − x = 0 x(2x − 1)=0

	1
x=0 v x=
	2

2^o Dla y= x+m x²+(x+m)² + x−1 = 0 x² + x² + 2mx + m² + x−1 = 0 2x² + (2m +1)x +m² − 1 Δ= (2m +1)² − 4*2*(m² − 1)= 4m² + 4m + 1 − 8m² + 8 = −4m² + 4m + 9 I tu mam pytanie , co dalej? , mam wyliczac kolejna delte z delty zeby obliczyc m₁ i m₂ , a jesli tak to czy dobrze obliczylem ? :

	1 + √10		1 − √10
m1=		m2=
	2		2

I na koniec mam popodstawiac? :: y=1−x Dla: x=0 , y=1

	1		1
Dla x=		, y=
	2		2

y= x+m

	1 + √10		1 + √10
Dla: x=0 , m=		: y=
	2		2

	1 − √10		1 − √10
Dla: x=0 , m=		: y=
	2		2

	1		1 + √10		2 + √10
Dla: x=		, m=		: y=
	2		2		2

	1		1 − √10		2 − √10
Dla: x=		, m=		: y=
	2		2		2

SPRAWDZI KTOS DOBRZE ZROBILEM?

P@weł: Znajdą się chętni do pomocy?

ZKS: Niestety to zadanie na tym nie polega.

P@weł: ZKS, bardzo prosze, wytlumaczysz jak powinno byc poprawnie? siedze przy nim juz 2 dzien i czekam az ktos pomoze wytlumaczyc?

ZKS:

	1
Dwa rozwiązania mamy zawsze bez względu na parametr m x = 0 oraz x =		.
	2

Należy rozważyć jeszcze równanie 2x² + (2m +1)x +m² − 1 = 0. Dla Δ > 0 masz kolejne dwa miejsce zerowe dla Δ = 0 masz jedno miejsce zerowe dla Δ < 0 masz brak miejsc zerowych. Tylko że tutaj można nie zauważyć że jeżeli rozwiązaniem powyższego równania będą

	1
odpowiednio liczby x = 0 albo x =		to będą pierwiastki podwójne lub potrójne (o ile będą
	2

takie m).

ZKS: Rozumiesz już?

P@weł: Pomozesz mi to doprowadzic do konca, ja postaram sie zrobic te 3 warunki?

P@weł: 2x² + (2m +1)x +m² − 1 Dla Δ > 0 Δ=(2m +1)² − 4*2*(m² − 1)= 4m²+4m+1−8m²+8 = −4m²+4m+9 I tutaj jak mam wyliczac kolejną delte z dellty? czyli: Δ= 16−4*(−4)*9= ?

ZKS: Niech f(x) = 2x² + (2m + 1)x + m² + 1

	1
jeżeli Δ > 0 ∧ f(		) = 0 ∧ f(0) = 0 to mamy w sumie dwa pierwiastki
	2

	1		1
jeżeli Δ > 0 ∧ [(f(		) = 0 ∧ f(0) ≠ 0) ∨ (f(0) = 0 ∧ f(		) ≠ 0)]
	2		2

mamy trzy pierwiastki

	1
jeżeli Δ > 0 ∧ f(		) ≠ 0 ∧ f(0) ≠ 0 mamy cztery pierwiastki
	2

	1
jeżeli Δ = 0 ∧ (f(		) = 0 ∨ f(0) = 0) mamy dwa pierwiastki
	2

	1
jeżeli Δ = 0 ∧ f(		) ≠ 0 ∧ f(0) ≠ 0 mamy trzy pierwiastki
	2

jeżeli Δ < 0 mamy dwa pierwiastki.

P@weł: 2x² + (2m +1)x +m² − 1 Dla Δ > 0 Δ=(2m +1)² − 4*2*(m² − 1)= 4m²+4m+1−8m²+8 = −4m²+4m+9 >0 Δ= 16−4*(−4)*9= 160, √Δ= 4√10

	1+√10		1−√10
m1=		, m2=
	2		2

	1−√10		1+√10
m∊(		,		)
	2		2

Dla Δ = 0 Δ=(2m +1)² − 4*2*(m² − 1)= 4m²+4m+1−8m²+8 = −4m²+4m+9 =0 Δ= 16−4*(−4)*9= 160 √Δ= 4√10

	1+√10		1−√10
m1=		, m2=
	2		2

Dla Δ < 0 Δ=(2m +1)² − 4*2*(m² − 1)= 4m²+4m+1−8m²+8 = −4m²+4m+9 <0 Δ= 16−4*(−4)*9= 160 √Δ= 4√10

	1+√10		1−√10
m1=		, m2=
	2		2

	1−√10		1+√10
m∊(−∞,		)∪(		, +∞)
	2		2

Dobrze

ZKS: Masz rozwiązać nierówność Δ > 0 u Ciebie Δ = −4m² + 4m + 9 i teraz masz rozwiązać nierówność −4m² + 4m + 9 > 0.

ZKS: Pisałem to jak jeszcze nie było Twojego postu.

ZKS: Dobrze policzone nierówności.

P@weł: Czyli to co napisalem w " 8 kwi 2014 16:26 " jest wszystko dobrze?

P@weł: Dobra czyli porozwiazywalem to co mialem wyszlo mi:

	1
x=0 v x=
	2

Przedziały kolejno :

	1−√10		1+√10
m∊(		, (		)
	2		2

	1+√10		1−√10
m1=		, m2=
	2		2

	1−√10		1+√10
m∊(−∞ ,		)∪(		, +∞)
	2		2

I co dalej, jaka będzie odpowiedz , mam obliczyc czesc wspolna, czy poprostu juz napisac ze dla:

	1−√10		1+√10
m∊(		, (		) − 2 rozwiązania
	2		2

	1+√10		1−√10
m1=		, m2=		− 1 rozwiązanie
	2		2

	1−√10		1+√10
m∊(−∞ ,		)∪(		, +∞) − 0 rozwiązań
	2		2

P@weł: ZKS , pomozesz to dokonczyc?

ZKS: Przecież Ci rozpisałem o 16 : 17.

ZKS: To co napisałeś na temat nierówność z Δ o 16 : 26 jest teraz wystarczy że dokończysz tak jak Ci rozpisałem i masz odpowiedź.

ZKS: Nie rozumiesz jeszcze czegoś?

P@weł:

	1
Czyli wg wpisu twojego z 16:17 np, jesli bym x=0 lub x=		, popodstawial w f(x) tak jak
	2

napisales to by wyszla okreslona ilosc pierwiastkow co nie?

P@weł: ?

ZKS: Tak tylko że musisz wstawiać i sprawdzać czy te m które Ci wyjdzie przykładowo f(0) = 0 znajduje się w danym przedziale (nierówności Δ).

P@weł: Przykładowo jesli przedzial : m∊(5,7) to przy m= 2 pisze ze sprzeczne , lub przekreslone ∊ , co nie?

P@weł: Dobra , stokortne dzieki za pomoc! , teraz moge na spokojnie zrobic te zadanie

ZKS: Pokaże na jednym przykładzie o co chodzi.

	1 − √10		1 + √10
Δ > 0 ⇒ m ∊ (		;		)
	2		2

f(0) = 0 ⇒ m² − 1 = 0 ⇒ m = ±1

	1		1		1
f(		) = 0 ⇒		+ m +		+ m2 − 1 = 0
	2		2		2

m² + m = 0 ⇒ m = 0 ∨ m = −1 Dla m = −1 mamy dwa pierwiastki dla m = 0 ∨ m = 1 mamy trzy pierwiastki

	1 − √10		1 + √10
dla m ∊ (		;		) \ {−1 ; 0 ; 1} mamy cztery pierwiastki.
	2		2

Rozumiesz już?

ZKS: Oczywiście m = 0 oraz m = 1 i m = −1 znajdują się w przedziale

	1 − √10		1 + √10
m ∊ (		;		) dlatego bierzemy je pod uwagę jeżeli nie znajdowały by
	2		2

się w nim to odpadają i nie bierzemy ich pod uwagę. Musisz tak samo zrobić z Δ = 0. Nie ma za co proszę bardzo. Powodzenia.

P@weł: Postaram sie teraz na spokojnie to wszystko przeanalizowac, raczej juz rozumiem, jesli nie to moze kiedy Ciebie jeszcze zlapie , Hej!

ZKS: Miłej pracy w analizowaniu i ja też się zbieram.

ZKS: Zauważyłem w swoim rozumowaniu błąd my wyliczyliśmy tylko rozwiązanie dla x a dla y możemy otrzymać różne rozwiązanie dla tych samych x. Dla m = −1 mamy cztery rozwiązania x = 0 ∧ y = −1 x = 0 ∧ y = 1

	1		1
x =		∧ y = −
	2		2

	1		1
x =		∧ y =		.
	2		2

Należy jeszcze wstawić to m do tych równań i zobaczyć co otrzymamy. Dla m = 0 ∧ m = 1 rzeczywiście mamy trzy rozwiązania. Przepraszam za to zamieszanie.

P@weł: ok dzieki

kochanus_niepospolitus: Może zaczniemy od początku równanie 2^o:

	1		5		1
x2+y2+x−1=0 <=> (x+		)2 + y2 =		<−−− okrąg o środku S(−		,0)
	2		4		2

równanie 1^o: x²−y² + m(x+y) = x−y+m (x − y + m)(x + y − 1) = 0 rysujesz układ współrzędnych (rysunek pomocniczy) zauważasz, że dla f(x) = −x+1

	1
masz dwa rozwiązania: x=0 i x=
	2

i to miałeś dobrze, teraz: g(x) = x+m (x−0,5)² + (x+m)² = 1,25 x² − x + 0,25 + x² + 2xm + m² = 1,25 2x² + x(2m−1) + (m²−1) = 0 i teraz ... dla Δ>0 będą tutaj dwa rozwiązania ... ale trzeba sprawdzić, czy nie będą TAKIE SAME jak w przypadku pierwszej prostej, stąd warunki:

	1		1
Δ>0 ⋀ g(0)≠1 ⋀ g(		) ≠		<−−− 4 rozwiązania
	2		2

	1		1
Δ>0 ⋀ (g(0)=1 ⋁ g(		) =		) <−−− 3 rozwiązania
	2		2

	1		1
Δ=0 ⋀ g(0)≠1 ⋀ g(		) ≠		<−−− 3 rozwiązania
	2		2

	1		1
Δ=0 ⋀ (g(0)=1 ⋁ g(		) =		) <−−− 2 rozwiązania
	2		2

Δ<0 <−−−− 2 rozwiązania zauważ, że sprawdzamy czy któreś z rozwiązań g(x) pokrywają się z rozwiązaniami prostej f(x). Moje warunki lekko się różnią od tych ZKS, ponieważ on badał czy miejsca zerowe tego wielomianu kwadratowego ... ja porównuję czy prosta g(x) przechodzi przez dane punkty (0 ; 1) i (0,5 ; 0,5)

P@weł: Bylbym wdzieczny jednak gdbysmy rozwazyli sposob ZKS'a : " 8 kwi 2014 16:17 " chociaz pomoc to zrozumiec:

	1
ZKS, pisal : " jeżeli Δ > 0 ∧ f(		)=0 ∧ f(0) = 0 to mamy w sumie dwa pierwiastki " :
	2

	1−√10		1+√10
Wiadomo ze Δ > 0 to : m∊(		,		)
	2		2

	1
Dla f(		)=0 mamy 2 rozwiazania/pierwiastki: m = 0 ∨ m = −1
	2

Dla f(0) = 0 mamy: m = 1 v m=−1 No i pierwiastki m= { −1, 0 , 1 } znajduja sie w tym przedziale czyli są CZęscia wspolna bo " ∧ " . To dlaczego mamy tylko 2 pierwiastki skoro czescia wspolna sa 3 pierwiastki?

kochanus_niepospolitus: dla m=−1 zarówno f(0) = 0 jak i f(0,5) = 0 czyli dla m=−1 masz dwa 'zdublowane' rozwiązania ... czyli 2 rozwiązania masz dla m=0 i m=1 masz tylko jedno 'zdublowane' rozwiązanie ... czyli masz 3 rozwiązania (2 z poprzedniej prostej + 1 z tych) dla pozostałych m masz 4 rozwiązania (2+2)

kochanus_niepospolitus: chwilę się zastanowiłem i rozwiązanie ZKS jest obarczone błędem chodzi oto, że dla m=−1 masz dwa rozwiązania (dla x=0 i x=0,5) dla prostej y=x+m także dla y=−x+1 są dla tych samych 'x' rozwiązania ale funkcje te przyjmują RÓŻNE wartości −−− rozwiązanie ZKS fałszywie traktuje je jako takie same

P@weł:

	1
czyli dla Δ > 0 ∧ f(		)0 ∧ f(0) = 0 mamy w koncu dwa pierwiastki tak jak pisal ZKS czy
	2

trzy tak jak ty piszesz

P@weł: PANIE jakie te zadanie jest pogmatwane...

ZKS: kochanus niepospolitus napisałem później że mam błąd w rozumowaniu wyjaśniłem to pisząc że dla tych samych argumentów możemy dostać różne wartości.

kochanus_niepospolitus: wiem ZKS .. później to zauważyłem ... ale edytować niestety nie można Paweł ... nie jest to zagmatwane gdybyś je robił z rysunkiem (patrz rozwiązanie Bogdana)