Uzadanij, że dla każdej liczby naturalnej N wyrażenie n^3+5n Radek: Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej N wyrażenie n³+5n jest podzielne przez 6. Wiem, że trzeba rozpisać, że musi być podzielne przez 2 i 3 i tutaj mam pytanie. Np. rozpisując dla 2 musimy rozpatrzyć przypadek dla reszty=0 czyli n=2k i reszty=1 czyli n=2k−1. I dla n=2k−1 trzeba podstawić i wyjdzie 2(4k³−6k²+8k−3). 2 jest wyciągnięta przed nawias i to chyba wystarczy? Czy trzeba wyciągnąć przed nawias 2k? Wszystkie przypadki dla 2 i 3 oczywiście analogicznie tylko nie jestem pewny co do tego.

bezendu: n³+5n n(n²+5) n(n²−1+6) n[(n−1)(n+1)+6] 6n+(n−1)n(n+1) Iloczyn trzech kolejnych +składnik podzilny przez 6 więc

Radek: A moją metodą jest źle? Przed nawias należy wyciagnąć 2 czy 2k?

bezendu: Ja nigdy tak nie robiłem dowodów. Zawsze szukam najprostszego rozwiązania.

Radek: ok, tego nie zauważyłem. A jak rozłożyłbyś n⁵−n mając udowodnić, że jest podzielne przez 5?. Wyszło mi n(n−1)(n+1)(n²+1)

bezendu: Też prosto: n⁵−n n(n⁴−1) n(n²−1)(n²+1) n(n−1)(n+1)(n²−4+5) n(n−1)(n+1)[(n−2)(n+2)+5] (n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)+5(n−1)n(n+1) Pisz komentarz i koniec dowodu

Radek: No na to nie wpadłem. Widzę, że jest 5 kolejnych liczb + składnij podzielny przez 5? Kurcze, gdybm tylko umiał tak rozkładać do końca, a tak to pozostaje metoda z dzielnikami, cyhba że jest inna metoda, łatwiejsza jakaś.

bezendu: A ta jest trudna ?

Radek: No trzeba wpaść na te kolejne przekształcenia. Jeszcze jedno pytanie jak jesteśmy w temacie − podzielność przez 3 wyrażenia 10ⁿ+4ⁿ−2

bezendu: A Ty co zrobiłeś ? Jakieś pomysły ? Ja idę do planimetrii więc nie pomogę już.