Udowodnić tożsamość Piszczal: Może znajdzie się ktoś kto mi pomoże z tym jednym zadankiem bo ja już siedzę i poddaj się. Trzeba udowodnić tożsamość ∞

	n k
∑		k3 = n2(n+3)n−3

k=0

Janek191: Wydaje mi się, że powinno być n

	n k
∑		k3 = ...

k=0

Piszczal: niestety, jest ∞ dokładnie to zadanie 5 podpunkt f http://aragorn.pb.bialystok.pl/~baginski/Pdf/MD4_i_2011.pdf

pomocnik: Czy jest ∞, czy n, to nie ma znaczenia wynik wyjdzie ten sam

Piszczal: umiałby ktoś to zrobić ? ;>

PW: Najpierw ustalmy, co mamy udowodnić (popieram Janka191): czy ma dla Ciebie sens np.

	13 1200
		?

Tak by wyglądał jeden ze składników sumy dla n=13.

Piszczal: teoretycznie to trzeba udowodnić tą tożsamość, wyjść jakoś z lewej strony dowieźć, że się to równa prawej stronie, ale praktycznie można i rozwiązać podstawiajac coś pod to, bo gdy się dowiedzie to można poodmieniać składniki na 'n' i 'k'

pomocnik:

n n+1		n n+2		n n+3
	=		=		=...=0, więc

	n k		n k
∑k=0∞		k3=∑k=0n		k3

pomocnik:

	n k		n!		n!
∑k=0n		k3=∑k=1n		k3=∑k=1n
			(n−k)!k!		(n−k)!(k−1)!

	n!		n!
k2=∑k=1n		(k−1+1)2=∑k=1n
	(n−k)!(k−1)!		(n−k)!(k−1)!

	n!		n!
(k−1)2+2∑k=1n		(k−1)+∑k=1n
	(n−k)!(k−1)!		(n−k)!(k−1)!

	n!		n!		n−1 k−1
=∑k=2n		(k−1)+2∑k=2n		+n∑k=1n		=
	(n−k)!(k−2)!		(n−k)!(k−2)!

	n!		n−2 k−2		n−1 k−1
∑k=2n		(k−2+1)+2n(n−1)∑k=2n		+n∑k=1n		=
	(n−k)!(k−2)!

	n!		n−2 k−2		n−1 k−1
∑k=3n		(k−2)+3n(n−1)∑k=2n		+n∑k=1n		=
	(n−k)!(k−2)!

	n!		n−2 k−2		n−1 k−1
∑k=3n		+3n(n−1)∑k=2n		+n∑k=1n		=
	(n−k)!(k−3)!

n(n−1)(n−2)2ⁿ⁻³+3n(n−1)2ⁿ⁻²+n2ⁿ⁻¹=2ⁿ⁻³n²(n+3) c.b.d.u

Piszczal: dziękuję bardzo