Nierówność, proszę o pomoc! Mihito: Rozwiąż nierówność √x+4 − x +2 > 0 Rozw ma wyjść x∊<−4,5) Rozpisuję: √x+4>x−2 x+4>x²−4x+4 0>x(x−5) I wychodzi x∊(0.5)

ICSP: Kiedy można podnosić nierówność stronami do kwadratu ?

Mihito: Kiedy po obu stronach mamy te same znaki?

ICSP: już lepiej Teraz popraw zmodyfikuj swoje rozwiązanie.

Mihito: Hm... |x+4|>x²−4x+4 dla x∊(−∞,−4) −x−4>x²−4x+4 0>x²−3x+8 x∊o/ dla x∊<−4,∞) x+4>x²−4x+4 0>x²−5x x∊(0,5) Gdzie popełniłem błąd?

ICSP: √x +4 > x − 2 określone dla x ≥ − 4 lewa strona jest nieujemna dla każdego x ∊ D_f Teraz jeżeli, prawda strona będzie nieujemna to podnosimy do kwadratu, a jeżeli będzie ujemna to mamy od razu, ze nierównosć jest prawdziwa. Czyli rozwiazujemy w dwóch przypadkach : 1^o x ≥ 2 2^o x ∊ [−4 ; 2)

Mihito: Aha, czyli tak jakby wartość bezwględna powstaje przy x+4>|x−2|, tak?

ICSP: Nie powstaje. Dla x ≥ 2 po podniesieniu do kwadratu masz : x + 4 > x² − 4x + 4

Mihito: a dla x ∊ [−4 ; 2) −x−4<x²−4x+4 ?

ICSP: dla x ∊ [−4 ; 2) nie możesz podnieść do kwadratu. Sam zresztą to napisałeś : "Kiedy po obu stronach mamy te same znaki?"

Mihito: To co teraz?

ICSP: Teraz znaki.

Mihito: √x+4>x−2 −√x+4<2−x x−√x+4−2<0 x+4−√x+4<6 t=√x+4, gdzie t>=0 t²−t−6<0 Δ=1+24=25 √Δ=5 t1=3 t2=−2 − sprzeczne z założeniem 3=√x+4 9=x+4 x=5 √5+4>5+7 3>12 x∊<−4,2)

ICSP: t² − t − 6 < 0 po sprowadzeniu do postaci iloczynowej : (t−3)(t+2) < 0 (√x + 4 − 3)(√x + 4 + 2) < 0 // : √x + 4 + 2 > 0 √x+4 − 3 < 0 √x+4 < 3 x + 4 < 9 x < 5 i x ∊ D x ∊ [−4 ; 5)

Mihito: A to z deltą jest niepoprawnę? Pryzznam, że wolę właśnie deltę niż sprowadzanie do postaci iloczynowej

ICSP: ale sprowadzenie do postaci iloczynowej robisz tak samo jak przez liczenie Δ. Metoda z podstawieniem jest o tyle lepsza, że nie trzeba rozważać przypadków. Po prostu jedno podstawienie załatwia całe zadanie.

Mihito: Super, dzięki wielkie !

pigor: ... lub np. tak : √x+4−x+2 >0 i x+4 ≥0 ⇔ √x+4−x−4+6 >0 i (*) x ≥ −4 ⇒ ⇒ 0 > (x+4)−√x+4−6 ⇔ √x+4²− √x+4−6< 0 ⇔ (√x+4−3)(√x+4+2)< 0 ⇔ ⇔ −2< √x+4< 3, stąd i z (*) ⇔ x ≥−4 i √x+4< 3 /² ⇔ x ≥−4 i x+4< 9 ⇔ ⇔ x ≥ −4 i x < 5 ⇔ −4 ≤ x < 5 ⇔ x∊<−4;5) . ...