granica aw24BtjjCCr:

	1
lim(x,y)→(0,0)
	x2+y2

Mam w odpowiedziach, ze nie istnieje...jak pokazac? Tzn jakie ciagi dobrac, zeby wykazac to z def. Heinego?

Godzio: Czemu nie istnieje ? Bez straty ogólności możemy założyć, że x ≥ y. Wtedy

1		1		1
	≥		=		→ ∞
x2 + y2		x2 + x2		2x2

więc granica jest równa ∞

aw24BtjjCCr: Dziekuje

pomocnik: Granica się zgadza, ale już sposób dowodu nie bardzo.

Godzio: Hmm, czemu ?

pomocnik: Bo niby dlaczego zakładasz, że x≥y. W granicy należy rozważyć wszystkie przypadki.

Godzio: Ale to nie ma wpływu na rozwiązanie. y ≥ x jest takie samo rozwiązanie (tylko y ograniczamy)

pomocnik: W tym przypadku na rozwiązanie nie ma wpływu, ale metoda jest zła, bo nie wyczerpuje wszystkich możliwości, to jest granica podwójna. Poza tym jeśli x≥y, to wcale nie wynika, że x²≥y².

PW: Moim zdaniem wystarczy napisać definicję − co to znaczy, że (x,y) → (0,0).

aw24BtjjCCr: Wydawaje sie to dosc oczywiste...para (x,y) dazy do pary (0,0), tzn x dazy do 0 ∧ y dazy do 0...

PW: Jestem przeciwny stwierdzeniom typu „wydaje się to dość oczywiste”. Podobno w matematyce intuicja jest bardzo ważna, ale ... bywa zawodna. Dążenie (x,y) do (0,0) ma definicję posługującą się pojęciem odległości w przestrzeni R².

aw24BtjjCCr: Nie bylo mi dane widziec tej definicji na oczy, wiec nie jestem jej w stanie teraz podac. Nie moge zaprzeczyc, ze intuicja bywa zawodna, ale "na zajeciach" rozwiazujac podobne przyklady (granice funkcji dwuargumentowych) rozwiazywalismy je bez wczesniejszej znajomosci tej def. (bo nie byla podana ni na wykladach, ni na cwiczeniach), tak wiec opieralismy sie jedynie na tej wlasnie intuicji i tutaj zapewne rowniez o to chodzilo.

pomocnik: Dowód jest dość prosty, jeżeli opieramy się na definicji Heinego. Jeżeli (x,y)→(0,0), to x²+y²→0 (w dodatku po wartościach dodatnich), więc szukana granica to +∞

PW: Piłkę do koszykówki opasano sznurkiem, do którego dodano następnie jeszcze kawałek o długości 1 metra. Jak łatwo się przekonać, między piłką a sznurkiem trzymanym w jednakowej odległości od jej powierzchni przejdzie kot. Co podpowiada intuicja, gdy to samo zrobimy z kulą ziemską − najpierw ściśle okręcimy ją sznurkiem, a potem dodamy do sznurka kawałek o długości 1 m i będziemy go unosić w jednakowej odległości od powierzchni? Między sznurkiem a powierzchnią ziemi zmieści się: bakteria, pluskwa, mysz, czy może inne zwierzę?