Równania i nierówności kwadratowe z parametrem; sposób
ktosik: Witam,
na początku dziękuje za poprzednią odpowiedź na zadane pytanie.
Teraz mam kolejne. Przestawię problem na podstawie konkretnego zadania.
"Dla jakich wartości parametru m rozwiązania równania x
2 − mx + 2 = 0 należą do przedziału
<0,3>"
1. Warunek, który musi zaistnieć to Δ≥0, czyli:
Δ = m
2 − 8
m
2 − 8 ≥ 0
m ≥ 2
√2 ⋁ m ≤ −2
√2
m ∊(−
∞, −2
√2> ∪ <2
√2,+
∞)
2. warunek to
i tu zaczyna się moje pytanie;
Robię to rozbijając
∧
więc:
skoro ma być spełniony warunek a) to (wzory Viete'a):
x
1 * x
2 ≥0 ∧ x
1 + x
2 ≥0
wychodzi, że m ≥ 0;
teraz sprawdzam, kiedy będzie spełniony warunek b):
po przekształceniu:
x1 −3 ≤0 ⋀ x2 − 3 ≤0, z czego wynika, że
(x1 − 3)(x2 − 3) ≥ 0
wymnożenie, wzory Viete'a i wychodzi, że:
m ≤
11 3
Teraz nałożę oczywiście na siebie przedziały i wyjdzie mi wynik ostateczny.
Pytanie będzie dotyczyło tej metody sposobu rozwiązania (kolor czerwony).
Po zapisie (x
1 − 3)(x
2 − 3) ≥ 0 szukam parametru m który jest rozwiązaniem nierówności
(x
1 − 3)(x
2 − 3) ≥ 0; problem w tym, że ten przekształcony warunek nie gwarantuje tego, że
x
1 ≤ 3 i x
2 ≤ 3 − bo co kiedy x
1 ≥ 3 i x
2 ≥ 3? Wtedy też będzie rozwiązanie tej
nierówności... Wygląda to tak jakbym przekształcał warunek rozszerzając go, a tym samym
rozszerzając potencjalną liczbę rozwiązań parametru m...
Przykładzik: dla x
1 = 5 i x
2=6
(5−3)(6−3) = 2* 3 = 6, co jest ≥ 0, czyli x
1 i x
2, które są większe bądź równe 3 też
spełniają nierówność, a miały być one mniejsze bądź równe 3... Czy dokonany "trik" (kolor
czerwony) zagwarantuje nam poprawność rozwiązania w tym i podobnych zadaniach? DLACZEGO?
Czy musimy może jeszcze sprawdzać ile wynoszą miejsca zerowe?
