Teoria grup Raf: Wykazać, że jeśli dla każdego a∊G zachodzi równość a²=e, to G jest grupą abelową.

Raf: Jakaś wskazówka od czego zacząć?

Maslanek: W grupie mamy, że dla każdego a∊Gi stnieje a⁻¹ takie, że a*a⁻¹=e, gdzie e−element neutralny grupy. Stąd i z podanej równości wyżej możemy zapisać równość a*a⁻¹=a*a. Mnożąc lewstronnie przez a⁻¹ dostajemy: a⁻¹*(a*a⁻¹)=a⁻¹(a*a). Ale w grupie działanie jest łączne, więc: (a⁻¹*a)*a⁻¹=(a⁻¹a)*a ⇒ a⁻¹=a. Czyli każdy element tej grupy jest odwrotny do siebie. Oczywiste jest więc, że dla każdego a∊G a⁻¹*a=a*a⁻¹=e, zatem jest to zarazem grupa przemienna.

Raf: Kurcze tak samo myslałem, z definicji elementu symetrycznego w tej grupie każdy element jest symetryczny względem siebie, ale doszedłem do wniosku, że przemienność zachodzi tylko dla tego jednego elementu a i elementu do niego symetrycznego, ale przecież gdy weźmiemy dwa różne elementy z G, na przykład a i b, to działanie już nie musi być przemienne

Raf: A może mamy wnioskować z tego, że grupa, w której każdy element jest symetryczny względem siebie to grupa złożona tylko z tego jednego elementu, który jest jednocześnie elementem neutralnym? Bo nie potrafię sobie wyobrazić innej grupy, w której każdy element byłby symetryczny sam do siebie i miałaby w sobie dwa różne elementy.