Wykaż, że...
ellollo: Wykaż, że jeśli liczby a, b, c są dodatnie i a2 + b2 +c2 = 108, to a + b + c ≤ 18.
30 mar 19:31
PW:
(1) (a+b+c)2 = a2+b2+c2 + 2(ab+ac+bc).
Jak wiadomo
2xy ≤ x2+y2,
nierowność ta zastosowana trzykrotnie do (1) daje
(a+b+c)2 ≤ab+b2+c2 + a2+b2+a2+c2+b2+c2
(a+b+c)2 ≤ 3(ab+b2+c2),
zatem zgodnie z zalożeniem
(a+b+c)2 ≤ 3•108 = 32•62,
skąd wobec dodatniości liczb a, b i c wynika
a + b +c ≤ 18.
30 mar 21:21
PW: Poprawka − powinno być oczywiście a2, a nie ab w wierszach 5. i 6.
30 mar 21:22
ZKS:
Inny sposób z wykorzystaniem nierówności pomiędzy średnimi
średnia kwadratowa ≥ średnia arytmetyczna
| √a2 + b2 + c2 | | a + b + c | |
| ≥ |
| |
| √3 | | 3 | |
| | 108 | | a + b + c | |
( |
| )1/2 ≥ |
| |
| | 3 | | 3 | |
a + b + c ≤ 6 * 3 = 18.
30 mar 21:29
Eta:
30 mar 21:37