sin^2α + sin^2β = 5sin^2γ, Matura R 100% :) : Witam, proszę o jakąś wskazówkę bo nie mam nawet pomysłu jak się za to zabrać Wykaż, że jeżeli α,β,γ są kątami wewnętrznymi trójkąta i sin²α + sin²β = 5sin²γ, to sinγ ≤ 3/5

PW: Z twierdzenia sinusów

	a		b		c
		=		=		= 2R,
	sinα		sinβ		sinγ

zatem

	a		b		c
sinα =		, sinβ =		, sinγ =		.
	2R		2R		2R

Z założenia

	a2		b2		c2
		+		= 5		,
	4R2		4R2		4R2

a więc (1) a² + b² = 5c². Z twierdzenia kosinusów (2) c² = a² + b² − 2abcosγ. Podstawienie (1) do (2) daje

	a2+b2
		= a2 + b2 − 2abcosγ
	5

	2	a2+b2
(3) cosγ =			,
	5	ab

a ponieważ a²+b² ≥ 2ab, z (3) wynika

	4
(4) cosγ ≥		.
	5

Jeszcze trochę wnioskowania dla (4) i otrzymamy zapowiedzianą nierównośc dla sinγ.

Matura R 100% :) : wielkie dzięki