Monotoniczność. Alberyk: Wykazać, że funkcja √10+6cosx−√10−6cosx+√10+6sinx−√10−6sinx jest rosnąca na [0; π/4]

daras: oblicz pochodną i sprawdź jej znak

Alberyk: Proszę mi w w takim razie JĄ WYZNACZYĆ i zbadać jej znak. Ja niestety nie potrafię z tego wybrnąć. ( Stąd post na tym forum...)Otrzymane równania są zbyt skomplikowane... łatwo jest rzucać w próżnię dobrymi radami, nie sprawdziwszy samemu, czy mają one rzeczywistą wartość informacyjną... Może jakiś matematyk z prawdziwego zdarzenia miałby tu jakiś KONKRETNY pomysł ?...

PW: Oj, myślę że daras jest "z prawdziwego zdarzenia". A próbowałeś takiej sztuczki

	10+a −10−b
√10+a + √10+b =
	√10+a − √10+b

i podobnej dla √10−a + √10−b ?

Alberyk: Owszem, ale otrzymujemy wtedy 2 różne mianowniki i jest jeszcze większy kłopot z policzeniem pochodnej ( wystarczy spróbować samemu, żeby się o tym przekonać...) W międzyczasie jednak zadanie rozwiązałem; na zadanym przedziale wykorzystując dodatnią określoność każdej obydwu różnic i po podniesieniu do kwadratu oraz powtórnym spierwiastkowaniu otrzymuje się dwie funkcje, których monotonicznosci łatwo ocenić na [o; π/2] (jako złożenia funkcji monotonicznych: wnioskujemy stad, że jedna maleje od 2 do 0, a druga rośnie od 0 do 2). Wreszcie sprawdza się, że prosta x=π/4 jest osią symetrii wykresu ( wyjściowa funkcja przesunięta o wektor π/4i wtedy staje się parzysta...).Suma dodatnio okreslonej funkcji ściśle rosnącej i dodatnio okreslonej funkcji sciśle malejącej ma ściśle określoną monotoniczność,; ukierunkowanie tej monotoniczności otrzymuje się z faktu, iż wartośc fukcji wyjściowej w punkcie x=π/4 jest większa od 2...

Alberyk: Dokładniej: Suma dodatnio okreslonej funkcji ściśle rosnącej na [o; π/2] i dodatnio okreslonej funkcji sciśle malejącej na [o; π/2] , która to suma jest symetryczna względem prostej x=π/4 ma ściśle określoną monotoniczność na [o; π/4] i [π/4; π/2]

PW: Funkcja f jest sumą dwóch funkcji: g(x) = √10+6cosx + √10+6sinx oraz h(x) = −(√10−6cosx + √10−6sinx).

	−6sinx		6cosx
g'(x) =		+		=
	2√10+6cosx		2√10+6sinx

	3cosx		3sinx
		−		.
	√10+6sinx		√10+6cosx

	π
Na przedziale (0,		) prawdziwa jest nierówność cosx > sinx, zatem
	4

	3cosx		3cosx
		>
	√10+6sinx		√10+6cosx

(dodatni mianownik zastąpiliśmy większą liczbą), co oznacza, że

	3cosx		3sinx
g'(x) >		−		=
	√10+6cosx		√10+6cosx

	3(cosx−sinx)
=		> 0.
	√10+6cosx

Podobnie

	3sinx		−3cosx
h'(x) = −(		+		) =
	√10−6cosx		√10−6sinx

	3cosx		3sinx
=		−		,
	√10−6sinx		√10−6cosx

a ponieważ

	3sinx		3sinx
		<
	√10−6cosx		√10−6sinx

(mianownik zastąpiliśmy mniejszą liczbą),

	3sinx		3sinx
−		> −
	√10−6cosx		√10−6sinx

	3cosx		3sinx		3(cosx−sinx
h'(x) >		−		=		> 0.
	√10−6sinx		√10−6sinx		√10−6sinx

Pokazaliśmy, że na zadanym przedziale f(x) = g(x) + h(x) jest sumą funkcji rosnących. A jednak daras dobrze podpowiadał.