Tayloer DD: Wielomian Taylora Za pomocą wielomianu Taylora stopnia 1 obliczyć w przybliżeniu daną wartość i dokładność przybliżenia. e^0,1 Robię tak funkcja tutaj to będzie e^x i x0=0,1 i robię z tego wielomian taylora i mi wychodzi e^x+e^x*(x−0,1)² czy to jest dobrze zrobione ?

Godzio:

	xk		x2		x3
ex = ∑k=0∞		≈ 1 + x +		+
	k!		2		6

Wstaw teraz x = 0.1

Godzio: A teraz doczytałem "stopnia 1", więc starczy 1 + x czyli e^0.1 ≈ 1.1

DD: Godzio a jest jakaś różnica między tym x0 a x ? Czy to jest to samo ? Za bardzo też nie kumam tego rozwinięcia tzn. Powinno być f(x0)+f'(0)(x−x0) i tak dalej. Nie wiem np. skąd ci wyskoczyła 1+x tam

PW: Rozwinąć trzeba w otoczeniu zera − w powszechnie stosowanej wersji a=0 i x = 0,1.

DD: Bo jak bym normalnie to podstawiał to byłoby tak jak napisałem w 1 poście

Godzio:

	(x − x0)k
f(x) = ∑n		+ Rn+1(x)
	k!

x = 0.1, x₀ = 0 (rozwijasz wokół zera Masz zrobić to przez szereg, a nie przez pochodne.

DD: Jak wyznaczam dokładność przybliżenia to wyznaczam drugą pochodną i biorę kolejny stopień wielomianu czyli w tym wypadku

x2		0,01
	=		=0,005 a powinno wyjść 0,006 nie wiem gdzie robię błąd
2		2

Maslanek: W dokładności wydaje mi się, że powinniśmy wziąć dokładną wartość Czyli: (wartosc rzeczywista)−(wartosc obliczona)

DD: A wartość rzeczywista to które to jest ?

DD: ln0,95 lnx x0=0 x=0,95

	1
lnx+		(0,95−0) i co mam dalej tu zrobić jak mam 1/x a za x podstawiam 0 ?
	x

DD: Tutaj powinna być funkcja lnx+1 ?

Trivial: Rozwiń ln(x+1) w zerze (albo ln(x) w jedynce).

DD: Czy tylko w lnx mam rozwijać w 1 ? W pozostałych w funkcjach to w 0 rozwijać ?

Trivial: To zależy od tego co chcesz przybliżać... 0.95 jest blisko 1 i dla 1 mamy "ładne" wartości pochodnych.

DD: A jak mam obliczyc dokładność przybliliżenia ? f''(x0)/2! * (x−x0)² <−−−− To będzie takie coś. Jaką liczbę mam dać za x w tym przypadku ?

Trivial: To nie jest błąd przybliżenia. Błąd przybliżenia jest:

	f(n+1)(ξ)
Rn(x) =		(x−x0)n+1
	(n+1)!

Dla pewnego ξ między x oraz x₀ ← ξ∊[x,x₀] lub ξ∊[x₀,x] w zależności od uporządkowania. Dla f(x) = ln(x), x₀ = 1, n = 1 (przybliżenie liniowe) mamy:

	f''(ξ)
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x−x0) +		(x−x0)2
	2

	1
ln(x) = ln(1) + 1*(x−1) −		(x−1)2 ξ∊[x, 1]
	2ξ2

	1
ln(0.95) = −0.05 −		*0.0025 ξ∊[0.95, 1]
	2ξ2

Błąd będzie największy dla ξ = 0.95 i najmniejszy dla ξ = 1, a zatem można oszacować dokładność przybliżenia:

	1
0.00125 ≤		*0.0025 ≤ 0.001385
	2ξ2

A zatem: −0,051385 ≤ ln(0.95) ≤ −0,05125 Wartość obliczona kalkulatorem to: ln(0.95) = −0.051293

DD: Dziękuje ci Trivial. Miłej nocy