Pytanie mki: Mam pytanie. ||x−1|−|3−x||=2. Najpierw opuszczam zewnętrzną wartość bezwzględną i to co zostanie będzie równe 2 lub −2, a później muszę rozpisać z definicji, czy jakoś inaczej ?

mki: up

mki: podpowie ktoś?

Tadeusz: ... wszystkie chwyty dozwolone ... byleby sztuka nie cierpiała −

Tadeusz: |x−1|−|x−3|=−2 lub |x−1|−|x−3|=2 dalej pobaw się w przedziałach −

bezendu: Szkoda, że tam nie ma + pomiędzy

PW: Udowodnię coś, co warto zapamiętać. Wiadomo, że −2|u|•|v| ≤ 2uv − ta nierówność jest oczywista dla każdego kto rozumie definicję wartości bezwzględnej. Jest też oczywiste, że równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy liczby u i v są różnych znaków (lub co najmniej jedna z nich jest zerem). Po dodaniu, stronami |u|²+|v|² = u²+v² otrzymamy |u|² − 2|u|•|v| + |v|² ≤ u² + 2uv + v² (|u| − |v|)² ≤ (u+v)², skąd wynika (1) ||u| − |v|| ≤ |u + v|, przy czym równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy liczby u i v są różnych znaków (lub jedna z nich jest zerem). Zastosowanie nierówności (1) w naszym zadaniu daje: ||x−1| − |3−x|| ≤ |x−1+3−x| = 2, przy czym równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy liczby (x − 1) i (3 − x) są różnych znaków lub co najmniej jedna z nich jest serem. Oznacza to, że zadana równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy (x−1)(3−x) ≤ 0 (x−1)(x−3) ≥ 0 x∊(−∞,1]∪[3,∞). Od razu odpowiadam na pytanie: − A skąd ja miałbym być taki mądry? − Autor dał wskazówkę w treści zadania: napisał |3−x| zamiast zwyczajowego |x−3|.

pigor: ..., lub np. tak : ||x−1|−|3−x||= 2 ⇔ |x−1|−|3−x|= −2 v |x−1|−|3−x|= 2 ⇔ ⇔ |3−x|= 2+|x−1| v |x−1|= 2+|3−x| ⇔ ⇔ 3−x= 2+|x−1| v x−3= 2+|x−1| v x−1= 2+|3−x| v 1−x= 2+|3−x| ⇔ ⇔ |x−1|= 1−x v |x−1|=x−5 v |3−x|= x−3 v |3−x|= −1−x ⇔ ⇔ x−1≤ 0 v x∊∅ v 3−x≤ 0 v x∊∅ ⇔ x ≤1 v x ≥3 ⇔ ⇔ x∊(−∞; 1> U <3;+∞) . ...