pochodna funkcji Damian: Jak obliczyć n−tą pochodną funkcji f(x)=cos2x

ja: (cosu) ' *u' gdzie u=2x

Damian: nadal nie roruzmiem

ja: a co tutaj rozumieć wzór i zapisujesz

Damian: (cos2x)'+2x' no i nie wiem mógłby mi to ktos dokladnie wytlumaczyc?

ICSP: f(x) = cos2x f'(x) = ? f''(x) = ? f'''(x) = ? f⁽⁴⁾(x) = ? f⁽⁵⁾(x) = ? f⁽⁶⁾(x) = ? f⁽⁷⁾(x) = ? f⁽⁸⁾(x) = ? f⁽⁹⁾(x) = ? Na podstawie pierwszych 9 pochodnych postaraj się wysnuć hipotezę na temat n−ej pochodnej

Damian: no tak ale jak będzie wyglądac pochodna f'(x)=(cos2x)

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/strona/2090.html

Mila: f'=−2sin(2x) f''=−4cos(2x) f'''=8sin(2x)

WW: f⁴=16cos(2x) f⁵=−32sin(2x) f⁶=−64cos(2x) f⁷=128sin(2x) f⁸=256cos(2x) f⁹=−512sin(2x) Teraz dopatrz co się dzieję i wyznacz z tego wzór.

Damian: próbuję cały czas i mi nie wychodzi pokazałby mi ktos to rozwiąnie?

Damian: czy to bedzie

	π
−2n+1sin[(n+1)		+2x]
	2

Mila: https://www.wolframalpha.com/input/?i=d%5En%2Fdx%5En%28cos%282x%29%29

Trivial: Inny sposób: W bazie cos(2x), sin(2x) operacja n−tej pochodnej reprezentowana jest poprzez mnożenie przez odpowiednią macierz n−razy.

	0 2 −2 0		cos(−π/2) −sin(−π/2) sin(−π/2) cos(−π/2)
M =		= 2

Rozpoznajemy macierz obrotu o (−π/2). Zatem (−¹₂M)ⁿ odpowiada operacji obrotu o

	nπ
−		, czyli
	2

	cos(−nπ/2) −sin(−nπ/2) sin(−nπ/2) cos(−nπ/2)
Mn = 2n

Wykonując naszą operację na wektorze odpowiadającym cos(2x) mamy:

	1 0		cos(−nπ/2) sin(−nπ/2)
Mn		= 2n

Powracając do normalnego zapisu mamy:

	nπ
f(n)(x) = 2n(cos(−nπ/2)cos(2x) + sin(−nπ/2)sin(2x)) = 2ncos(2x +		).
	2

Trivial: Ma być (¹₂M)ⁿ odpowiada operacji obrotu o ...