Monotoniczność ciągów, sprawdzenie moich rozwiązań Petro-7: Mam 2 pytania, po pierwsze czy dobrze zrobiłem to zadanie: Zbadaj monotoniczność nieskończonego ciągu (an), jeśli: a1 = 3 i an+1 = an−2 dla n >= 1 I moje rozwiązanie: a2 = 1, a3 = −1 wobec tego an+1 < an z czego wynika że ciąg jest malejący. Tylko nie jestem pewien czy mogę tak zapisać, no bo ciąg jest nieskończony. Zrobiłem jeszcze an+1 − an = an−2−(an−3)=1 i jest to mniej niż a1, więc ciąg jest malejący. Jest to "moje" rozwiązanie, bo w szkole nie robiliśmy takich przykładów, a mamy zadane i próbuje kombinować. Oprócz tego proszę o pomoc w następującym zadaniu − Wykaż, że ciąg (an) jest ciągiem rosnącym. f) an = 1/(1−3n). No i robię to an+1 − an i mi wychodzi ostatecznie −3/[(2−3n)(1−3n)] − w mianowniku wychodzi dwa razy minus więc daje plus czyli ciąg wychodzi mi malejący, a ma być rosnący...

ja:

	1		1
an+1−an=		−		=..
	1−3n−3		1−3n

5-latek:

	1		1		1
an+1=		=		=
	1−3(n+1)		1−3n−3		−2−3n

1		1		1−3n−(−2−3n)
	−		=		= licz dalej (ale jeszce raz sprawdz moje
−2−3n		1−3n		(−2−3n)(1−3n)

obliczenia

ja: >0 stąd a_n+1>a_n c.rosnacy

Petro-7: loool, ale durny błąd zrobiłem dodając jeden do całości, a nie do n... A co do pierwszego zadania to jest dobrze? Jak tak, to który sposób, 1) czy 2)?

ktoś: To pierwsze brzmi tak: a₁=3 i a_n+1=a_n−2?

Petro-7: Tak jest.

Petro-7: Dla n>=1

ja: jeżeli a_n+1=a_n−2 wówczas a₂=a₁−2=3−2=1 a₃=a₂−2=−1 i ok i teraz a_n=a₁+(n−1)*r a_n=3+(n−1)*(−2)=3−2n+3=−2n ciąg malejący

pie: a_n+1=a_n−2 Dla każdego n∊N₊: a_n+1−a_n=−2 i masz po robocie.

pie: Zawsze badasz różnicę, a tutaj można ją sobie łatwo ze wzoru wyciągnąć.

Petro-7: @ja Co do tego to nie wiem czym jest to "r", dopiero zaczynam ciągi niestety. @pie Aha OK, to jeśli tak można dzięki w takim razie Ja byłem przez 2 tygodnie chory i dzisiaj pierwszy dzień w szkole i nie wszystko ogarniam jeszcze

Petro-7: W takim razie w analogicznym przykładzie b) gdzie a1=−4 i an+1=an+5 dla n>=1 mamy an+1−an=5 i z tego wynika że jest rosnący więc się zgadza. To po co w takim razie jest podawane to a1, jeśli można to tak szybko praktycznie bez liczenia udowodnić prostym równaniem?

pie: r to różnica ciągu arytmetycznego, będziesz to mieć, jeśli jeszcze nie miałeś. W tym przypadku r=−2 < 0 i z tego faktu też mogłeś skorzystać. To wszystko zależy od przykładu, nie zawsze ciąg opisany rekurencyjnie będzie mieć tak prostą postać.

pie: +Jest to po prostu inny sposób określania ciągu.

	2
Np. a1=−3 i an+1=		an dla n≥1 <− tu już nie odejmiesz od razu.
	5

Petro-7: Jasne, dzięki