wielomiany Rafał: Wielomiany |x³−3x−2|≤x³−3x−2 Jest jakiś szybki sposób na takie zadania? bo liczenie przedziałów to raczej żmudna robota... |x²−1|≥x³−x

PW: To pierwsze jest banalne − mamy do czynienia z nierównością typu (1) |u| ≤ u, która oznacza zgodnie z definicją wartości bezwzględnej, że (2) |u| = u (wartość bezwzględna liczby u jest albo równa liczbie u da u≥0, albo od niej większa − dla u < 0, mniejsza od u być nie może). Inaczej mówiąc równość (1) oznacza, że u ≥ 0. Wystarczy rozwiązać nierówność x³ − 3 x − 2 ≥ 0. x³ + x² − x² − 3x − 2 ≥ 0 x²(x+1) − (x+1)(x+2) ≥ 0 (x+1)(x²−x−2) ≥ 0

PW: Drugie wystarczy zapisać w postaci |x²−1| ≥ x(x²−1). Dla x∊(−1,1) jest x²−1 < 0, a więc nierówność ma postać −(x²−1) ≥ x(x²−1), x∊(−1,1), skąd po podzieleniu przez x²−1 < 0 ptrzymamy −1 ≤ x, x∊(−1,1), czyli x∊(−1,1). Dla x∊(−∞,−1]∪[1,∞) jest x² −1 ≥ 0, zatem nierówność ma postać x²−1 ≥ x(x²−1), x∊(−∞,−1]∪[1,∞) (x²−1)(1−x) ≥ 0, x∊(−∞,−1]∪[1,∞). Pierwszy czynnik jest nieujemny, a więc nierówność jest spełniona dla takich x, dla których 1−x ≥ 0, x∊(−∞,−1]∪[1,∞) x ≤ 1, x∊(−∞,−1]∪[1,∞), czyli dla x∊(−∞,−1]∪{1}. Odpowiedź: zbiorem rozwiązań nierówności jest (−1,1)∪(−∞,−1]∪{1} = (−∞,1],